2.2. Принцип Гюйгенса – Френеля

Дифракционные явления исследуются с помощью общего принципа, называемого принципом Гюйгенса – Френеля. Идея этого принципа основана на том, что световая волна, излученная источником, в дальнейшем ведет автономное существование, независящее от наличия этого источника. Принцип Гюйгенса – Френеля представляет собой усовершенствованный и дополненный Френелем принцип Гюйгенса, согласно которому каждая точка волнового фронта рассматривается как источник вторичных сферических волн; огибающая этих волн дает положение фронта волны в следующий момент времени. По Френелю, действие источника света S в какой-либо точке Р можно заменить действием произвольной поверхности окружающей источник. Каждый элемент этой поверхности рассматривается в качестве источника вторичных волн, распространяющихся по всем направлениям. Считается, что эти вторичные источники создаются одним и тем же первичным источником S, и поэтому являются когерентными. Световое поле Е(Р) в точке Р представляет собой результат интерференции волн, приходящих в эту точку от всех вторичных источников, видимых из точки Р. Что касается самого источника S, то предполагается, что он только создает вторичные источники на поверхности но сам непосредственно не вносит вклада в поле в точке Р. Таким образом, сущность принципа Гюйгенса – Френеля состоит в замене реального источника света действием произвольно выбранной поверхности, рассматриваемой как совокупность вторичных источников когерентных волн. Обычно в качестве указанной поверхности выбирается поверхность фронта волны, падающей на экран.

Пусть на пути распространения света от источника света S

Рис. 5.2

находится непрозрачный экран с произвольным отверстием и требуется найти амплитуду светового поля Е(Р) в некоторой точке Р за экраном (рис. 5.2). Следуя Френелю, предположим, что отверстие покрыто некоторой произвольной поверхностью являющейся системой источников вторичных сферических волн. Эти вторичные волны распространяются за экраном в различных направлениях и, в частности, в направлении точки Р. Разделим мысленно поверхность на элементарные участки площадью (точка М на рис. 5.2 – центр этого элемента). Поле, создаваемое элементом будет пропорционально полю Е_S, создаваемому истинным источником S на элементе поверхности и площади этого элемента (т.е. числу когерентных точечных источников вторичных волн внутри элемента). Чтобы найти поле dЕ(Р), создаваемое элементом в точке Р, находящейся на расстоянии r от него, следует учесть также изменение амплитуды вторичной сферической волны при ее распространении от элемента к точке Р, обратно пропорциональное r, и набег фазы kr при распространении ее на расстояние r, где – волновое число,  – длина волны, создаваемой источником S. Это приводит к появлению в выражении для dЕ(Р) множителя С учетом этого поле, порождаемое элементом в точке Р, можно представить в виде

(5.1)

где К(α) – так называемый коэффициент наклона, учитывающий тот факт, что вклад элемента в результирующее поле зависит

от его ориентации по отношению к направлению на точку наблюдения Р, – угол между нормалью n к элементу поверхности и направлением на точку наблюдения. По Френелю, этот коэффициент принимает максимальное значение, когда нормаль n совпадает с направлением на точку Р ( ), монотонно убывает и обращается в нуль при Согласно Кирхгофу – Рэлею – Зоммерфельду, коэффициент наклона

(множитель учитывает дополнительное отставание по фазе вторичной волны в точке Р по сравнению с излучением в месте расположения элемента на ). Фазовый множитель в (5.1) опущен, так как он не влияет на распределение поля в пространстве. Следовательно, выражение (5.1) определяет элементарную комплексную амплитуду светового поля в точке Р. Результирующая амплитуда в этой точке, в соответствии с принципом суперпозиции, определится как сумма амплитуд полей, создаваемых всеми такими элементарными участками. Действие самого экрана на падающую волну в общем случае учитывается с помощью функции t(M), зависящей от положения точки M на экране и называемой амплитудной функцией пропускания экрана или апертурной функцией.

Функция t(M) является характеристикой только самого отверстия (апертуры) и не учитывает ни свойства материала, из которого изготовлен экран, ни его размеры. Эта функция будет действительной величиной, если экран изменяет только амплитуду волны, и комплексной – если еще и фазу. При вычислении амплитуды поля в точке Р эту функцию следует умножить на Е_S. С учетом этого для результирующей амплитуды поля Е(Р) в точке Р будем иметь:

(5.2)

где – амплитуда поля в точке в плоскости непосредственно за экраном. Интегрирование в (5.2) производится по площади поверхности апертуры В случае дифракции на простых экранах, размеры которых значительно больше длины волны, когда справедливо приближение геометрической оптики (называемое также приближением Кирхгофа), амплитуду поля Е(M) принимают равной Е_S в пределах отверстия и равной нулю, где экран перекрывает свет. Это означает, что

Указанное соотношение называют граничным условием Кирхгофа.

Выражение (5.2) является математической формулировкой принципа Гюйгенса – Френеля. Кирхгоф, Рэлей и Зоммерфельд обосновали принцип Гюйгенса – Френеля, показав, что этот принцип, по существу, является одним из методов решения скалярного волнового уравнения Гельмгольца с заданными граничными условиями.

Из (5.2) видно, что поле за экраном можно рассматривать как совокупность сферических волн, амплитуда и фаза которых определяется амплитудой и фазой в плоскости непосредственно за экраном.