9.4. Сферические световые волны

Другим простейшим решением волнового уравнения (1.1), но выраженного в сферических координатах, является сферическая волна. Как и плоская, сферическая волна часто используется при описании волновых явлений. Но, как и плоская, сферическая монохроматическая волна является математической абстракцией. Никакая реальная волна строго монохроматической плоской или сферической не является. Все эти волны вводятся в рассмотрение лишь в качестве предельных случаев, удобных для описания физических явлений в теоретических модельных расчетах.

В сферической волне проекция вектора E на направление, вдоль которого он колеблется, описывается функциями

E(r, t) = , (1.16)

где r – расстояние от источника (расположенного в начале координат) до произвольной точки наблюдения P(x, y, z), отсчитываемое вдоль направления распространения волны, т.е. радиус сферического фронта волны, v – скорость распространения волны. Сферический фронт волна может иметь только в изотропной среде, т.е. в такой среде, величина скорости волны v в которой по всем направлениям одинакова, и на достаточно большом расстоянии от источника. Волновые функции (1.16) являются общим решением волнового уравнения

,

которое получается из уравнения (1.1), если в нем перейти к сферическим координатам с учетом того, что в сферической волне поле E зависит только от одной сферической координаты , а от углов  и  не зависит. Это уравнение имеет такой же вид, как и уравнение (1.14), но вместо E здесь стоит произведение rE, поэтому общим решением этого уравнения будет

откуда и получается выражение (1.16). Монохроматическая сферическая волна является частным решением указанного волнового уравнения и описывается волновой функцией

где k – волновое число (k =  / v), r – радиус сферического волнового фронта, E₀₀ постоянная, имеющая смысл амплитуды волны на единичном расстоянии от источника, ω – циклическая частота, 𝛼 – начальная фаза волны. Знак минус в фазе волны относится к расходящейся из начала координат сферической волне, а плюс – к сферической волне, сходящейся в начале координат.

Поверхность постоянной фазы сферической волны

= const

представляет собой сферу, радиус которой с течением времени увеличивается при знаке минус перед множителем kr в фазе волны (dr / dt =  / k > 0) и убывает при знаке плюс (dr / dt = = –  / k < 0). Скорость перемещения сферической поверхности в пространстве v = dr / dt =  / k. В сферической волне сферами являются и поверхности постоянной амплитуды.

Сферические световые волны возникают, если во всех точках некоторой сферической поверхности возбудить одинаковые синфазные колебания светового поля, передающиеся в однородной и изотропной среде. Расходящуюся сферическую волну излучает точечный источник (расположенный на бесконечности, он будет давать плоскую волну). Монохроматическая сферическая световая волна получается, если источник совершает гармонические колебания.

Сферической электромагнитной волной является, например, волна, излучаемая колеблющимся электрическим диполем на расстояниях (в волновой зоне диполя):

где  и p₀ – соответственно частота и амплитуда колебаний диполя, – угол между осью диполя и направлением на точку наблюдения.

В комплексной форме зависимость E(r, t) записывается в виде

E(r, t) = exp – i ( t k r =

= exp ( i k r)exp (– i t) = E(r)exp (– i t).

Здесь

E(r) = exp ( i k r)

– комплексная амплитуда сферической волны, а E₀ =

= E₀₀ exp (– i ) – комплексная постоянная, модуль которой определяет амплитуду волны E₀₀ на единичном расстоянии от источника, а аргумент – начальную фазу 𝛼. Знак плюс в показателе экспоненты комплексной амплитуды соответствует расходящейся, а минус сходящейся сферическим волнам. Заметим, что комплексное сопряжение переводит формулу расходящейся сферической волны в формулу сходящейся, или наоборот.