9.3. Плоская гармоническая электромагнитная волна

9.3.1. Формула плоской электромагнитной волны

Как уже отмечалось, волновое уравнение, как и всякое дифференциальное уравнение, не определяет явного вида функции E(z, t). Для определения конкретного вида этой функции (частного решения) волновое уравнение дополняется начальными и граничными условиями, соответствующими конкретной задаче. Неизвестная функция E(z, t) может быть определена либо заданием закона колебаний электрического поля в плоскости z = 0 ( либо по известной зависимости напряженности электрического поля E от координат в какой-либо момент времени, например в момент времени t = 0 (E(z, 0) = g(z)).

Пусть колебания электрического поля в плоскости z = 0, где расположен источник волн, происходят по гармоническому закону (граничное условие)

(9.16)

где E₀₀, , – соответственно амплитуда, циклическая частота и начальная фаза колебаний поля. Заменив в этой формуле t на

t z / v (с учетом различия во времени начала колебаний на z / v в плоскости z = const), придем к выражению, описывающему колебания поля E в произвольной плоскости z = const  0:

E(z, t) = E₀₀ cos [ (t z / v) + ].

Введя обозначение  / v = k, это выражение можно привести к виду

E(z, t) = E₀₀ cos ( t k z + ). (9.17)

Здесь под E понимается x- или y-компонента электрического поля, E₀₀ – амплитуда волны,  = 2 / T – циклическая частота, T – период волны. Формула (9.17) описывает одномерную плоскую монохроматическую бегущую электромагнитную волну, распространяющуюся в направлении оси Z. Знак минус в формуле (1.9) относится к волне, распространяющейся в положительном направлении оси Z, а плюс – в отрицательном. Заметим, что изменение направления распространения волны сводится к замене знака волнового числа k.

Непосредственной подстановкой легко убедиться, что функции (9.17) удовлетворяют волновому уравнению (9.10).

Как видим, зависимость всех компонент электрического вектора E от координаты z и времени t, в такой волне выражается гармонической функцией. Аргумент косинуса, т.е. функцию

 (z, t) =  t k z + ,

называют фазой волны, а величину – начальной фазой волны: =  (0, 0). Для какой-либо конкретной плоскости z = z₁ начальной фазой (колебаний поля) называют величину

 (z₁) = k z₁ + .

Отметим здесь, что фаза световой волны является одной из важнейших ее характеристик, определяющей в когерентной оптике результат взаимодействия волн друг с другом.

Зафиксируем какое-либо значение фазы:

 t k z + = C = const. (9.18)

Отсюда видно, что каждому значению времени t соответствует определенное значение координаты z, т.е. плоскость, перпендикулярная оси Z: z = const. Это соотношение показывает, что фазовую (или волновую) поверхность световой волны можно определить как геометрическое место точек, в которых в рассматриваемый момент времени фаза волны имеет одно и то же значение, или как геометрическое место точек, в которых колебания вектора E происходят в одной фазе.

Продифференцировав выражение (1.10) по времени, получим (без учета направления распространения волны)

Поскольку это соотношение получено из условия постоянства фазы, то можно констатировать, что для монохроматической волны скорость движения поверхности постоянной фазы (волновой поверхности) совпадает со скоростью v распространения волны. По этой причине скорость v волны называют фазовой скоростью волны.

Величину k =  / v называют волновым числом. Подставив в выражение k значение  = 2 / T и учтя, что vT =  – длина волны, получим k = 2 /. Как видим, волновое число имеет размерность обратной длины. Длина электромагнитной волны – это расстояние, на которое перемещается волновая поверхность за время, равное одному периоду колебаний поля.

Волна вида (1.9) является периодической как во времени, так и в пространстве. Временным периодом световой волны является период колебания светового поля в волне, равный периоду колебаний источника T. Пространственным периодом монохроматической волны является длина волны . Поэтому длину электромагнитной волны  можно определить как расстояние между двумя ближайшими точками в волне, в которых колебания электрического поля происходят в одинаковой фазе (с разностью фаз, равной 2 ).

Формула, аналогичная формуле (1.9), имеет место и для y- или x-компоненты вектора B (для волны, распространяющейся в свободном пространстве; формула для B получается из формулы для E формальной заменой E на B и E₀₀ на B₀₀).

При математическом описании волновых явлений удобно использовать комплексную форму записи волны. В соответствии с формулой Эйлера

и, следовательно,

где i = – мнимая единица. Соотношение (1.9) представляет собой действительную часть комплексного выражения

E(z, t) = E₀₀ exp – i ( t k z + ,

где, исходя из соображений удобства, перед показателем степени экспоненты взят знак минус. Представим это выражение в виде произведения

E(z, t) = E₀ exp ( ikz) exp (– i t). (9.19)

Формула (1.11) записана для волны, распространяющейся вдоль оси z  0 при верхнем знаке в показателе первой экспоненты и вдоль оси z < 0 при нижнем знаке. Величину

(9.20)

называют комплексной амплитудой плоской волны, распространяющейся в положительном направлении оси Z при знаке плюс в показателе экспоненты (перед произведением ikz) и в отрицательном – при знаке минус. Заметим, что в комплексном представлении волновые функции волн, распространяющихся в противоположных направлениях оси Z, являются комплексно сопряженными друг другу (отличаются знаком перед i). Множитель

E₀ = E₀₀ exp (– i ),

определяющий как амплитуду E₀₀, так и начальную фазу волны

, называют комплексной амплитудой в плоскости z = 0, т.е.

E₀ = E(0). Формула (1.12), записанная в виде

позволяет определить поле плоской волны в любой плоскости z = = const > 0 или z = const < 0 по известному полю в плоскости z = = 0, и наоборот. Фазовый множитель e ^{ ikz} определяет набег фазы kz плоской волны при ее распространении в свободном пространстве между двумя плоскостями, разделенными расстоянием z.

С учетом указанных обозначений волновую функцию плоской волны, распространяющейся вдоль оси Z (формулу (1.11)) можно представить в виде

Заменив в формуле (9.16) время t на и учтя, что  / v = k, будем иметь

Е(r, t) = E₀₀ cos ( t – k nr + ) (9.21)

(взяв для краткости записи верхний знак в выражении ).

Введем вектор k, направленный перпендикулярно фронту волны в направлении ее распространения и равный по модулю волновому числу k: k = kn. Определяемый таким образом вектор k, называется волновым вектором. Этот вектор определяет направление распространения плоской волны. С учетом этого формулу (9.20) приведем к виду

Е(r, t) = E₀₀ cos ( t – kr + ). (9.22)

Функция (9.21) описывает волну, распространяющуюся вдоль произвольного направления k. Скалярное произведение kr в (9.21), как и любое число, является величиной, не зависящей от ориентации координатных осей. А это и означает, что формула (9.21) описывает плоскую монохроматическую волну, распространяющуюся в произвольном относительно данной системы отсчета направлении (произвольна ориентация вектора n по отношению к координатным осям). Функция (1.13) является простейшим решением волнового уравнения (1.1).

В плоской волне, распространяющейся в направлении вектора k, уравнение поверхности постоянной фазы (волновой поверхности или фронта волны)

 t – kr + = C = const

определяет в пространстве плоскость

kr =  t + – C ,

перпендикулярную вектору k и перемещающуюся в пространстве вдоль направления этого вектора со скоростью v =  / k. Комплексная амплитуда такой волны определится как

где Если k_x, k_y, k_z – компоненты волнового вектора, то

kr = k_x x + k_y y + k_z z,

а комплексная амплитуда

E(x, y, z) = E₀ exp i(k_x x + k_y y + k_z z). (9.23)

Комплексная амплитуда плоской волны имеет тот же физичес-

кий смысл, что и комплексная амплитуда колебаний, но в отличие от последней содержит также множитель exp i(k_xx + k_yy + k_zz), определяющий зависимость фазы волны от пространственных координат. (Физический смысл комплексности амплитуды связан с эллиптической поляризацией волны.) Поверхность постоянной комплексной амплитуды представляет собой плоскость

kr = k_x x + k_y y + k_z z = C = const,

перпендикулярную вектору k и отсекающую на осях координат X,

Рис. 1.1

Y, Z отрезки длиной C / k_x, C / k_y, C / k_z соответственно. Комплексная амплитуда плоской волны, распространяющейся вдоль оси Z, получается из амплитуды (1.14) как частный случай при k_x = k_y = 0 и k_z = k. Пусть cos, cos, cos - направляющие косинусы вектора n, а значит, и вектора k. Тогда

k_x = k cos = (2 / ) cos, k_y = k cos = (2 / ) cos,

k_z = k cos = (2 / ) cos,

а комплексная амплитуда

E(x, y, z) = E₀ exp (ikr) =

= E₀ exp . (9.25)

Выражение (1.15) содержит в явном виде все параметры волны (кроме частоты ): амплитуду E₀, фазу и длину волны  = 2 / k.

Направление распространения волны задается направляющими косинусами cos, cos, cos.

Если ориентировать систему координат так, чтобы, например, волновой вектор волны лежал в плоскости XZ и составлял угол  с осью Z (рис. 1.1), то комплексная амплитуда такой волны будет иметь вид

E(x, z) = E₀ exp [ik(xsin + zcos ). (9.26)

Плоская монохроматическая волна представляет собой синусоиду, имеющую бесконечную протяженность и длительность, т.е. неограниченную в пространстве и времени (–  < t, z <  для волны, распространяющейся вдоль оси Z). Свойства ее в любой точке и в любой момент времени одинаковы: постоянны ее амплитуда, частота и начальная фаза. Такая волна имеет неограниченную временную и пространственную когерентность. Плоская монохроматическая волна могла бы возбуждаться электрическими зарядами, совершающими бесконечно длительные гармонические колебания. В действительности же никакие реальные колебания не продолжаются бесконечно долго, все они имеют начало и конец. Следовательно, ограничены во времени и в пространстве и все реальные волны, а такие волны монохроматическими, а значит, и плоскими монохроматическими волнами не являются. Поэтому на практике под монохроматическими и, в частности, под плоскими монохроматическими волнами подразумевают волны, описываемые гармоническими функциями в конечном интервале времени и координат. Эти временные и пространственные интервалы должны быть много больше соответственно периода и длины волны. Чем лучше выполнены эти условия, тем с большим основанием можно пользоваться приведенными выше формулами плоских волн.