9.2. Волновое уравнение электромагнитных волн

Дифференцируя обе части уравнения (9.4) по z, а уравнения (9.5) по t и сравнивая затем полученные соотношения, приходим к уравнению

(9.8)

Полученное уравнение представляет собой одномерное волновое уравнение для поля

Аналогично, дифференцируя обе части уравнения (9.4) по t, а уравнения (9.5) по z, придем к одномерному волновому уравнению для магнитного поля

(9.9)

Эти одномерные уравнения описывают распространение свободных колебаний электрического и магнитного полей со скоростью v вдоль обоих направлений оси Z.

Одномерные уравнения, подобные уравнениям (9.8) и (9.9), можно записать и для y-компоненты поля Е и x-компоненты поля B. Поэтому для электрического поля одномерное волновое уравнение можно записать в виде

(9.10)

где E – любая поперечная компонента вектора E, зависящая от одной координаты z. Аналогичное уравнение можно записать и для любой поперечной компоненты поля B, зависящей от той же координаты z:

В общем случае, когда векторы E и B являются функциями трех переменных x, y и z, волновые уравнения электромагнитных волн (распространяющихся в произвольном направлении) будут иметь вид

(9.11)

– для электрического поля и

– для магнитного поля

где E = E(x, y, z) и B = B(x, y, z) – любые компоненты векторов E и B. Волновые уравнения (9.7) описывают распространение электромагнитных волн в пространстве при отсутствии токов и зарядов. Однако, как показывается в электродинамике, электромагнитные волны возбуждаются именно токами (изменяющимися во времени, например, переменными токами) и зарядами (движущимися с ускорением). Электромагнитные волны могут возбуждаться также вследствие процессов, протекающих в различных радиотехнических устройствах, вследствие внутриатомных, внутриядерных процессов, торможения электронов в металлах и т.д. Процесс возбуждения электромагнитных волн называется их излучением.

Непосредственной подстановкой легко убедиться, что общим решением уравнения (9.10) является суперпозиция двух функций аргументов t – z / v и t + z / v:

(9.12)

Таким образом, уравнение (9.10) дает волновое решение в виде плоских волн (9.11), распространяющихся в обоих направлениях оси Z Первая функция в этом решении описывает плоскую электромагнитную волну, распространяющуюся со скоростью v вдоль положительного, а вторая – вдоль отрицательного направления оси Z.

Убедимся в этом сначала для функции f₁. Зафиксируем какое-либо значение поля. Этому значению поля будет отвечать определенное значение аргумента:

t – z / v = C = const.

Полученное уравнение определяет плоскость перпендикулярную оси Z и равномерно перемещающуюся вдоль этой оси со скоростью Так как > 0, то координата z при таком перемещении увеличивается (dz > 0). Следовательно, функция f₁ со знаком минус в аргументе описывает равномерное перемещение плоскости, отвечающей фиксированному значению поля, со скоростью v в положительном направлении оси Z, т.е. плоскую волну, распространяющуюся в положительном направлении оси Z. Подобным образом для функции f₂ получим Это означает, что второе слагаемое в (1.7) описывает плоскую волну, распространяющуюся со скоростью v в отрицательном направлении оси Z.

Таким образом, общим решением волнового уравнения (1.6) является сумма двух функций, одна из которых описывает плоскую волну, распространяющуюся в положительном направлении оси Z, а другая – в отрицательном. Так как распространение света происходит только в одном направлении, то одну из функций f₁ или f₂ следует считать тождественно равной нулю.

Каждое слагаемое в (9.12) как частный случай этого общего решения уравнения (9.10) также является решением этого уравнения, поэтому в дальнейшем решение уравнения (9.10) будем записывать в виде

E_x(z, t) = f (t z / v).

Общим решением волнового уравнения (9.11) является сумма волновых функций

E(x, y, z, t) = f , (9.15)

соответствующих распространению электромагнитного процесса со скоростью v, где – радиус-вектор произвольной точки Р, в которой определяется поле (точки наблюдения); x, y, z – координаты точки наблюдения на волновой поверхности; – единичные векторы (орты) вдоль координатных осей X, Y, Z соответственно;

n = cos i + cosβ j + cos k

– единичный вектор, проведенный в направлении распространения волны; cos, cos, cos – компоненты вектора n (направляющие косинусы) вдоль координатных осей X, Y, Z соответственно; , ,  – углы между вектором n и осями координат X, Y, Z соответственно (направляющие углы вектора n);

n  r = x cos + y cos + z cos.

Убедиться в этом можно непосредственной подстановкой функции (1.3) в волновое уравнение (1.1). При этом следует учесть, что сумма квадратов направляющих косинусов равна единице.

Функции вида (1.3) описывают электромагнитную волну, распространяющуюся со скоростью v в направлении, определяемом вектором n. Других решений волновое уравнение (9.11) не имеет. Вид функции f может быть любым; он не определяется только волновым уравнением, а зависит от начальных и граничных условий. Поэтому для определения конкретного решения волнового уравнения оно должно быть дополнено соответствующими начальными и граничными условиями.

Как и всякое дифференциальное уравнение, уравнение (9.11) не определяет явного вида функции E(r, t). Для определения конкретного вида этой функции (частного решения) волновое уравнение дополняется начальными и граничными условиями, соответствующими конкретной задаче. Неизвестная функция E(r, t) может быть определена либо с помощью граничного условия, т.е. заданием закона колебаний электрического поля в плоскости r = 0 (E(0, t) = f (t)), либо с помощью начального условия по известной зависимости напряженности электрического поля E от координат в какой-либо момент времени, например в момент времени t = 0 (E( , 0) = g( )).