11.2. Матрица когерентности

Описание состояния поляризации с помощью соотношений между амплитудами и фазами компонент E_x и E_y является наглядным и полезным при анализе поляризации строго монохроматического света. В реальных ситуациях, однако, приходится иметь дело не с идеальной волной, а со светом, в котором суммарный вектор электрического поля хаотически меняет свою величину и направление. Иначе говоря, на практике обычно имеют дело с естественным или, в лучшем случае, с частично поляризованным светом. Для частично поляризованного света указанное выше описание состояния поляризации становится неудобным, так как оказывается невозможной количественная оценка энергетики поляризованной и неполяризованной компонент светового пучка. Кроме того, ни амплитуды, ни фазы компонент не могут быть определены из оптических измерений. Следует учесть также, что поведение излучающих атомов подчинено вероятностным законам, вследствие чего, как было показано выше, поле излучения представляет собой случайную функцию времени. Поэтому при исследовании поляризационных свойств волны, возникающей в результате суперпозиции многих плоских монохроматических волн, излучаемых различными независимыми источниками, должны быть использованы понятия и законы теории вероятности и математической статистики. С учетом этого описание состояния поляризации частично поляризованного света производится с помощью определения средних величин: интенсивностей и корреляционных функций где E_x и E_y – комплексные компоненты вектора электрического поля волны. Эти величины доступны измерению и несут ту же информацию о поляризации плоской волны, что и амплитуда и фаза.

Для плоской волны

поэтому

где При этом d = arctg Вид поляризации может быть определен по числовым значениям этих величин. Например, линейная поляризация имеет место при правая круговая поляризация – при а левая круговая – при где E₀ = = E_0x = E_0y.

Матрица

называется корреляционной матрицей. Эта матрица полностью характеризует поляризацию плоской немонохроматической световой волны.

В случае поляризованного света, т.е. в случае плоской монохроматической волны, матрица когерентности имеет вид

где E_0x, E_0y и d - соответственно постоянные амплитуды и разность фаз между компонентами E_x и E_y плоской волны. Эта матрица в общем случае описывает эллиптическую поляризацию. Заметим, что для поляризованного света определитель матрицы когерентности det J = 0.

В случае линейной поляризации, когда d = 0 или p, матрица когерентности

где знак плюс соответствует разности фаз d = 0, а минус – разности фаз d = p. Если свет линейно поляризован вдоль оси X илиY, то его матрица когерентности соответственно

или

где I₀ – интенсивность падающего света. Для света с правой и левой круговыми поляризациями, когда для матрицы когерентности имеем соответственно

и

Если свет не поляризован, то корреляция между компонентами E_x и E_y поля отсутствует, так что матричные коэффициенты и а матрица когерентности

Степень поляризации можно выразить через инварианты матрицы когерентности:

где след матрицы При полной поляризации det J = 0, и тогда P = 1; в отсутствие поляризации det J = и P = 0.

Поляризацию света можно описать и с помощью так называемой поляризационной матрицы. Поляризационная матрица – это двухрядная матрица, элементы которой определяются как

где определяет интенсивность волны, Матрица эта является эрмитовой, т.е. ее коэффициенты удовлетворяют условию Сумма ее диагональных элементов

Если свет обладает эллиптической поляризацией, то элементы ее поляризационной матрицы будут иметь вид

В этом случае никакого усреднения нет. Элементы этой матрицы представляют просто произведения компонент вектора и комплексно сопряженного вектора

Для естественного света элементы поляризационной матрицы

В общем случае частично поляризованного света элементы поляризационной матрицы можно представить в виде

где - компоненты некоторого единичного вектора, P – степень поляризации. Легко видеть, что случай соответствует поляризованному свету, а случай – естественному.