1.8. Оценка линейности взаимосвязи

Для оценки степени приближения нелинейной зависимости к линейной используется критерий F:

где ² – квадрат корреляционного отношения; r² – квадрат коэффициента корреляции; n – объем выборки; k_X – число групп по ряду X.

Теоретические значения F_теор находятся по заданному уровню значимости  и числу степеней свободы ₁ = k_X и ₂ = n  2.

Если F_расч < F_теор – связь практически можно считать линейной.

Если F_расч.  F_теор. – корреляция нелинейная.

Рассмотрим проверку гипотезы линейности на основе данных предыдущего примера.

Значение коэффициента корреляции равно r =  0,808.

Расчетное значение критерия F по формуле :

Теоретическое значение критерия F для числа степеней свободы ₁ = 10 и ₂ = 37 равно F_теор = 2,18. Видно, что F_расч < F_теор. Таким образом, можно считать, что связь между рассматриваемыми факторами практически линейная.

1.9. Ранговая корреляция

Если п объектов какой-либо совокупности N пронумерованы в соответствии с возрастанием или убыванием какого-либо признака X, то говорят, что объекты ранжированы по этому признаку. Ранг х. указывает место, которое занимает i-й объект среди других п объектов, расположенных в соот­ветствии с признаком Х (1= 1,2,..., п). Например, при исследовании рынка мы можем задать вопрос с целью выяснения предпочтений потребителей при выборе товара (при покупке акций, мороженого, водки и т. п.) таким образом, чтобы они распределили товар в порядке возрастания (или убывания) своих потребительских предпочтений. Если мы имеем 2 набора ранжированных данных, то можно попытаться установить степень линейной зависимости между ними. Предположим, имеется 5 продуктов, расположенных по порядку предпочтений от 1 до 5 в соответствии с двумя характеристиками А и В (табл.1.4).

Таблица 1.4

Характеристики для ранжирования	Продукт
	V	W	X	У	Z
А В	2 1	5 3	1 2	3 4	4 5

Для определения наличия взаимосвязи между ранговыми оценками используется коэффициент ранговой корреляции Спирмена. ,Его расчет основан на различии между рангами:

D = Ранг А - Ранг В.

Коэффициент корреляции рангов Спирмена р рассчитывается по формуле:

где п - число пар ранжированных наблюдений.

В нашем примере мы имеем 5 пар рангов, следовательно, л = 5.

т. е. между признаками есть достаточно сильная линейная связь. Этот коэффициент изменяется в промежутке от [-1; 1] и интерпретируется так же, как и коэффициент Пирсона. Разница лишь в том, что он применяется для ранжированных данных.

Значимость коэффициента Спирмена проверяется на основе (t-критерия Стьюдента по формуле

Значение коэффициента считается существенным, если t_набл > t_крит (a; k=n- 2).