6.6. Свойства интегрируемых функций

Теорема 6. Если функция f(x) интегрируема на отрезке , то она интегрируема на любом отрезке .

□ Пусть ε > 0 произвольное число и, т.к. f(x) интегрируема на , тогда существует разбиение Т, что

(10) Пусть разбиение , полученное по разбиению Т добавлением точек и - разбиение образованное точками разбиения , принадлежащему отрезку . Тогда

.

Оценки верны, поскольку в последнем неравенстве первая сумма содержит неотрицательные слагаемые, соответствующие разбиению , а вторая – слагаемые, соответствующие разбиению , причем каждое слагаемое первой суммы входит во вторую сумму.

Поскольку , в силу (10) и свойства 2 сумм Дарбу имеем:

.

Тогда и по критерию интегрируемости, f(x) интегрируема на . ■

Теорема 7. Пусть . Тогда, если f(x) интегрируема на отрезках и , то она интегрируема на , причем

(11) □ Пусть , Т - разбиение , образованное точками разбиений и отрезков и . По критерию интегрируемости разбиения и можно выбрать так, чтобы

и .

Очевидно, что и, следовательно, функция интегрируема по критерию интегрируемости.

Теперь докажем (11). Интегральную сумму для построенного разбиения Т можно записать .

Переходя здесь к пределу при (при этом , ,получим доказываемое равенство (11). ■

Теорема 8. Если f(x) и g(x) интегрируемы на , тогда их сумма также интегрируема на и справедливо равенство:

. (12) □ отрезка и при любом выборе точек имеем

.

В силу интегрируемости f(x) и g(x) существуют пределы интегральных сумм, стоящих в правой части, поэтому существует и предел левой части при h(Т)→0 и по определению определенного интеграла получим (12). ■

Теорема 9. Пусть f(x) интегрируема на и с- постоянная. Тогда функция cf(x) также интегрируема на , причем

.

□ Доказательство следует из равенств:

■

Теорема 10. Пусть функции f(x) и g(x) определены на , причем f(x) интегрируема на , а g(x) отличается от f(x) в конечном числе точек. Тогда справедливо равенство:

.

□ Рассмотрим функцию . Очевидно на за исключением конечного числа точек, которые обозначим . Положим . Пусть Т- разбиение. Тогда каждая из точек принадлежит не более, чем двум отрезкам ( ) одновременно, а на остальных отрезках , то для любого разбиения Т отрезка , при любом выборе точек имеем: .

Переходя в этом неравенстве к пределу при h(Т)→0 получим :

.

В силу Т.8 функция интегрируема на и

. ■ Замечание. Определенный интеграл можно определить и для функций, заданных всюду на за исключением конечного числа точек этого отрезка. Если доопределить функцию в этих точках произвольным образом, мы получим функцию интегрируемую по Риману. В силу теоремы, интеграл не зависит от того какое значение принимает подынтегральная функция в этих точках.

Теорема 11. Если функции f(x)и g(x) интегрируемы на , то их произведение также интегрируемо на .

□ Без доказательства.

Теорема 12. Если функция f(x) интегрируема на и , то

. (13) □ Т.к. , то отрезка и при любом выборе будет справедливо неравенство . Переходя к пределу h(T) 0 получим (13). ■

Следствие. Если и функции интегрируемы, то .

Теорема 13. Если f(x) интегрируема на , то также интегрируема на и выполняется неравенство:

.

□ Из неравенства следует, что колебание функции на отрезке не меньше колебания функции на этом же отрезке, т.е. . Т.к. f(x) интегрируема , то . Тогда для разбиения Т получим , т.е. интегрируемая. Пусть теперь Т- произвольное разбиение отрезка , тогда ,по свойству абсолютной величины имеем:

.

Переходя к пределу h(T) 0 получим (13), в силу теоремы сравнения для пределов. ■

Замечание. Из интегрируемости на не следует интегрируемость f(x) . Например, , где - функция Дирихле не является интегрируемой на т.к. не интегрируется, тем не менее функция интегрируется.

Tеорема14. Если и функция f(x) интегрируема на , то , если , то .

□ Пусть Т некоторое разбиение . Обозначим

.

Тогда

;

- . ■

Классы функций, интегрируемых по Риману. Определим какие функции можно интегрировать.

Теорема 15. Непрерывная на отрезке функция f(x) интегрируема по Риману на этом отрезке.

□ В силу теоремы Кантора, непрерывная на отрезке функция равномерно непрерывна па этом отрезке, т.е. , что на любом отрезке , для которого , колебание будет удовлетворять неравенству:

< .

Пусть Т разбиение отрезка с шагом . Тогда колебание на удовлетворяет неравенству

.

Для этого разбиения имеем

.

Тогда согласно критерию интегрируемости функция f(x) интегрируема по Риману на . ■

Теорема 16. Ограниченная на отрезке функция f(x), имеющая на конечное число точек разрыва интегрируема на этом отрезке.

□ Вначале рассмотрим случай, когда f(x) имеет единственную точку разрыва, причем точкой разрыва является один из концов отрезка. Пусть это точка а . Обозначим колебание f(x)на . Зададим произвольное положительное число ε. Выберем точку x_1, чтобы .

На отрезке функция непрерывна и следовательно интегрируема по Риману. По критерию интегрируемости найдется такое разбиение отрезка , что .

Для разбиения отрезка в силу предыдущего, получим

.

По критерию интегрируемости это означает, что f(x) интегрируема на . Аналогично, если точка разрыва при . Рассмотрим общий случай. Пусть точки разрыва f(x) на (a,b). Выберем точки , так чтобы выполнялось неравенства

. На каждом из отрезков функция интегрируема в силу предыдущего рассуждения, т.к. имеет не более одной точки разрыва. Тогда она интегрируема по Риману и на всем отрезке в силу свойства аддитивности. ■

Функция f(x) называется кусочно-непрерывной на отрезке если она имеет на этом отрезке не более конечного числа точек разрыва 1-го рода. Тогда теорема может быть сформулирована так: кусочно-непрерывная на отрезке функция f(x) интегрируема на нем.

Теорема 17. Монотонная на отрезке функция f(x) интегрируема по Риману на этом отрезке.

□ Для определенности будем считать, что f(x) не убывает. Зададим произвольное . Пусть Т- разбиение с шагом . Очевидно, что в силу монотонности . Поэтому, проверяя критерий интегрируемости, получаем

. ■

Теорема 18. Ограниченная на отрезке функция f(x), имеющая счетное множество точек разрыва, интегрируема по Риману на этом отрезке.

□ Без доказательства.

Таким образом, интегрируемыми по Риману функциями являются следующие функции: непрерывные; ограниченные с конечным числом точек разрыва; монотонные; ограниченные, имеющие счетное множество точек.

Теоремы о среднем для интеграла Римана.

Теорема19. Пусть выполняется условия:

1)функции f(x),g(x) интегрируемы на отрезке ;

2) ;

3) ;

тогда справедлива формула

(14)

□ Произведение интегрируемо на по теореме 11. Тогда интегрируя почленно неравенство , получим формулу. ■

Следствие. При условиях теоремы справедлива формула

.

Теорема 20. (Обобщенная теорема о среднем). Пусть выполняются условия

1) функция f(x) непрерывная на отрезке ;

2) g(x) интегрируема на ;

3) .

Тогда , что справедлива формула среднего значения:

(15)

□ Т.к. функции интегрируемы на отрезке , то справедливы неравенства (14). Если , то из (14) следует, что и формула (15) выполняется . Пусть , тогда из (14) получим

.

Поскольку f(x) непрерывна на , по второй теореме Вейерштрасса , такие, что .

.

В силу теоремы Коши, непрерывная функция f(x) принимает все промежуточные значения между m и M. Поэтому существует ξ є [a,b], в которой _.

Откуда следует формула (15). ■

Следствие. (Теорема о среднем) Если f(x) непрерывна на [a,b], то существует ξ є [a,b], такая, что

.

Очевидно, что формула следует из (15) при g(x) ≡ 1.

Значение - называется средним значением на [a,b].

Замечание. Если f(x) не является непрерывной, то формула (15) в общем случае несправедлива. Пусть

; ;

;

Однако точки ξ є [0,1], где f( ) = 2/3 не существует.

6.6. Вычисление определенного интеграла

Формула Ньютона-Лейбница. Введем понятие интеграла с переменным верхним пределом. Пусть f(x) интегрируема на любом отрезке содержащемся в интервале (а,b) и с – некоторая фиксированная точка этого интервала. Тогда каково бы ни было число (a,b) f(x) – интегрируема на [c,x]. Поэтому на (a,b) может быть определена функция:

,

которая называется интегралом с переменным верхним пределом.

Теорема 21. Любая непрерывная в интервале (a,b) функция f(x) имеет в этом интервале первообразную, причем одной из первообразных является функция

, где .

 Надо показать, что, для любого x (a,b) существует предел

=f(x).

Возьмем приращение ,так чтобы точка x+ є (a,b) (рис..

Рис.1.

Тогда по свойствам определенного интеграла имеем:

Так как f(x) непрерывна на (a,b), то при Δx→0 , ξ→x и f(ξ)→f(x) .

. ■

Замечание. Аналогично доказывается теорема для функции непрерывной на [a,b], причем в качестве нижнего предела интегрирования можно взять точку а.

Следствие 1. При доказательстве теоремы установлено существование производной от интеграла с переменным верхним пределом, причем

Т.е. производная от интеграла с переменным верхним пределом равна подъинтегральной функции.

Следствие 2. Если f(x) интегрируема на любом отрезке, лежащем в [a,b], то интеграл с переменным верхним пределом представляет непрерывную функцию.

Теперь докажем основную формулу интегрального исчисления. Ранее было доказано, что любые две первообразные отличаются друг от друга на постоянную. Тогда по Т. 21 можно утверждать, что любая первообразная Ф(x) непрерывная на отрезке [a,b] и имеет вид

, где С – некоторая постоянная.

Положим здесь x=a:

,

.

Откуда следует формула

,

которая называется формулой Ньютона-Лейбница

Таким образом, для вычисления определенного интеграла от функции f(x) нужно найти разность значений её первообразной (любой!) для верхнего и нижнего пределов интегрирования.

Пример 20. Вычислить интегралы: