Глава 6. Интегралы и их приложения
6.1. Неопределённый интеграл. Определение и свойства
В
дальнейшем под промежутком
Х
будем понимать одно
из
следующих множеств (а,b),
.
Определение 1. Пусть выполняются следующие условия:
а) f(x) определена на промежутке Х;
б) F(x) непрерывна и дифференцируема во всех внутренних точках Х;
в)
Тогда функция F(x) называется первообразной для f(x) на промежутке Х.
Пример 1.
является
первообразной для
на промежутке Х=(-1,1).
является
первообразной для
на промежутке
.Является первообразной для на промежутке .
Из определения 1 очевидно, что если F(x) первообразная для f(x), то F(x) + C также первообразная. Как отличаются между собой две первообразные?
Теорема
1.
Если
(x)
и
(x)
две первообразные для f(x)
на
промежутке Х,
то всюду на этом интервале
,
где С
- произвольная постоянная.
□ Положим
.
Т.к.
и
дифференцируемы на Х,
то Ф(х)
дифференцируема на Х
следовательно
x
и
,
откуда
.
■
Следствие.
Если
F(x)
одна из первообразных для f(x)
на Х,
то любая другая первообразная Ф(х)
для f(x)
на Х
имеет вид
,
где С
– произвольная постоянная.
Определение
2.
Множество всех первообразных функций
f(x)
на промежутке X
называется неопределённым
интегралом
от функции f(x)
на Х
и обозначается
.
Функция f(x) называется подинтегральной функцией. Обозначение:
.
Под
знаком интеграла
пишут
для удобства не только саму функцию и
дифференциал dx
для того, чтобы указать по какой переменной
ищется первообразная
Пример 2.
1)
на
.
2)
, -1<x<1
Свойства интегралов
1.
или
Доказательство следует из определения.
2.
или
.
□
.
■
3.
Постоянный множитель можно выносить
за знак интеграла, т.е. если a=
const
,
то
.
□ Пусть
F(x)
– первообразная для f(x),
т.е.
.
Тогда аF(x)
первообразная
для af(x),
т.к.
.
Тогда по определению
.
■
4. Неопределённый интеграл от алгебраической суммы двух функций равен сумме неопределённых интегралов от этих функций:
.
□ Пусть
и
,
тогда
- первообразные для
т.к.
.
По
определению имеем:
Т.к. правые части равны, то равны и левые. ■
В
силу определения интеграла и равенства
из каждой формулы таблицы производных
получится соответствующая формула для
вычисления неопределённого интеграла.
Таблица интегралов
;
, 
;
,
;
,
;
;
;
;
;
;
;
;
-a<x<a;
Справедливость этих формул проверяется непосредственно дифференцированием правой части. Эти интегралы называются табличными. Интегралы от более сложных функций находятся с помощью свойств интегралов и таблицы интегралов.
Замечание. В теории дифференцирования функций было установлено, что производная любой элементарной функции тоже представляет элементарную функцию, т.е. применение операции дифференцирования не выводит из класса элементарных функций. С операцией интегрирования сложнее. Интегралы от некоторых элементарных функций не выражаются через элементарные функции, т.е. не являются элементарными. Например,
- интеграл Пуассона;
- интегралы Френеля;
;
;
интегральные синус, косинус, логарифм.
Эти интегралы называют специальными функциями. Они часто используются в различных разделах физики и механики. Для них составлены таблицы, графики, компьютерные программы.