3.4. Задание 4. Проверка равенства генеральной дисперсии некоторому гипотетическому значению

Точность работы омметра проверялась по дисперсии измеренного значения эталонного сопротивления ². Проведено 10 измерений (выборка X). Проверить гипотезу, заключающуюся в том, что выборка взята из генеральной совокупности с некоторым гипотетическим значением дисперсии ₀², т.е. нулевая гипотеза . В качестве альтернативной взять гипотезу .

Исходные данные приведены в таблице 4.

4. Методические указания

4.1. Пример выполнения задания 1

Дана выборка X: 100,103,98,101,100,96,102,104,103,100.

Требуется проверить гипотезу о равенстве выборочного среднего генеральному значению при известной дисперсии.

Напомним, что нулевая гипотеза имеет вид: H₀: =a, а альтернативная: H₀ : > a.

Уровень значимости  = 0,05, значение дисперсии 0,5.

Проверку гипотезы следует провести вначале для гипотетического (предполагаемого) значения математического ожидания a₁ = 100, а затем для a₂ = 100,5.

Решение.

Для данного примера выборочное среднее значение составляет: .

Для проверки гипотезы необходимо вычислить выборочную статистику (критическую функцию):

.

В данном случае для a₁ = 100, 3,13, а для a₂ = 100,5, 0,894.

Значение n принимается равным десяти (таково число элементов в выборочной совокупности).

Определим критическое значение правостороннего критерия для заданного уровня значимости (критическую точку z_1- ). Для данного примера z_1- = 1,64. Критическую точку нужно определять с помощью нормированного нормального распределения при a = 0 и  = 1 (функция Лапласса) .

Гипотеза отклоняется, если выполняется неравенство z > z_1- .

В данном примере для a₁ = 100 выполняется соотношение 3,13 > 1,64 и гипотеза отклоняется.

Для a₂ = 100,5 соотношение иное 0,894 < 1,64, поэтому гипотеза принимается.

4.2. Пример выполнения задания 2

Даны выборка X1: 0,76;0,75;0,34;0,94;0,68;0,34;0,79;0,98;0,34;0,67

и выборка X2: 0,7;0,38;0,98;0,56;0,88;0,57;0,98;0,77;0,63;0,67

Уровень значимости  = 0,1.

Решение.

Для рассматриваемого примера после проведения расчетов получаем:

Определим выборочную статистику:

где средние значения двух выборок, объёмы выборок, среднеквадратичное отклонение, которое рассчитывается по формуле:

.

Для данного примера

С помощью распределения Стьюдента найдём критическое значение двустороннего критерия . Для этого необходимо использовать заданный уровень значимости  и число степеней свободы . В данном примере  = 0,1, k = 18. Результат вычисления критической точки с помощью статистического пакета для ЭВМ таков: .

Как известно гипотеза принимается, если выполняется неравенство: . В рассматриваемом примере 0,54 < 1,73, поэтому гипотеза принимается.

4.3. Пример выполнения задания 3

Даны выборка X1: 3,5; 3 ;4,9; 6,4; 6,8; 7,2; 8; 3,1; 3,9; 6,3

и выборка X2: 5,2; 6,1; 5,8; 8,1; 3,9; 6; 7,1; 7,2; 5,7; 6,3

Уровень значимости  = 0,05.

Решение.

Для данного примера расчетным путем получаем: . Определим число степеней свободы:

;

и приближённый критерий:

.

Для рассматриваемого примера k =16 , t = 1,2.

Заметим, что определении k необходимо расчетное значение округлить до ближайшего большего целого числа.

Критическое значение определяется с помощью распределения Стьюдента. Для этого используются заданный уровень значимости  и число степеней свободы ; вид критерия - двусторонний.

В данном примере:  = 0,05, df = 16.

Результат вычисления критической точки: 2,12.

Напомним, что гипотеза принимается, если выполняется неравенство .

Так как фактическое значение критерия меньше критического (1,2<2,12) , то гипотеза принимается.