Основные равносильности
1)
,
2)
,
3)
,
4)
,
5)
,
6)
,7)
,
8)
,
9)
,
10)
,
11)
.
Пример 6. Доказать, что
операция эквивалентности
равносильна логическому выражению
(
(
)).
Решение.
Построим таблицу истинности функции
(
(
)):
А |
В |
А |
В |
|
|
|
( ) |
л |
л |
и |
и |
л |
л |
л |
и |
л |
и |
и |
л |
л |
и |
и |
л |
и |
л |
л |
и |
и |
л |
и |
л |
и |
и |
л |
л |
л |
л |
л |
и |
Таблицы истинности совпадают, то есть
значения в последних столбцах одинаковы,
следовательно,
=
.
Пример 7. Построить таблицу
истинности для формулы:
.
Решение.
А |
В |
|
А |
|
|
и |
и |
и |
л |
л |
л |
л |
и |
л |
и |
и |
и |
и |
л |
л |
л |
л |
и |
л |
л |
и |
и |
л |
л |
Замечания.
1. Составление таблицы истинности можно незначительно сократить. Выпишем формулу, для которой надо составить истинностную таблицу. Для каждого распределения истинностных значений пропозициональных букв, входящих в данную формулу, под всеми вхождениями каждой из этих букв подпишем соответствующие истинностные значения. Затем, шаг за шагом, под каждой связкой будем выписывать истинностные значения той составляющей формулы, для которой эта связка – главная, т.е. при построении формулы применяется последней.
Например, построим сокращенную таблицу для формулы примера 7.
|
|
А |
|
В |
и и и |
л |
л и |
л |
и |
л л и |
и |
и л |
и |
и |
и л л |
и |
л и |
л |
л |
л и л |
л |
и л |
л |
л |
2. В приведенных примерах формулы содержат две буквы: А и В. Если в формуле имеется n различных букв, то тогда возможны 2n различных распределений истинностных значений для букв, следовательно, таблица истинности для такой формулы содержит 2n строк.
Пример 8. Построить таблицу
истинности для формулы:
.
Решение. Таблица истинности для такой формулы содержит 23 = 8 (n = 3 буквы) строк:
А |
В |
С |
А |
|
|
и |
и |
и |
л |
и |
и |
л |
и |
и |
л |
и |
и |
и |
л |
и |
л |
л |
и |
л |
л |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
л |
л |
и |
л |
л |
и |
л |
и |
и |
л |
и |
л |
л |
л |
л |
и |
л |
л |
л |
и |
и |
л |
Определение 23. Пропозициональная формула, которая истинна, не зависимо от того, какие значения принимают встречающиеся в ней пропозициональные буквы (высказывания), называется тавтологией. Иначе, высказывание – тавтология, если оно истинно.
Замечание. Формула является тавтологией тогда и только тогда, когда соответствующая истинностная функция принимает только значение «и» (истинно) или, что то же самое, если в ее таблице истинности столбец под самой пропозициональной формулой состоит только из букв «и».
Определение 24. Если импликация является тавтологией, то говорят, что А логически влечет В. Если эквивалентность – тавтология, то говорят, что А и В логически эквивалентны.