Решение.

а) никакой человек не является машиной: .

b) существует человек: .

с) только люди водят машины: .

Истинность высказываний.

Определение 15 . Высказывание истинно, если А ложно.

Определение 16. Высказывание – конъюнкция – истинно, если А и В оба истинны, и ложно в противном случае.

Например: высказывание ( (2+2=5) -рациональное число) – ложное, т.к. первое высказывание ложное: .

Определение 17. Высказывание – дизъюнкция – истинно, если хотя бы одно из высказываний А и В истинно.

Например: высказывание ( (2+2=5) -рациональное число) – истинное, т.к. второе высказывание истинное: -рациональное число.

Определение 18. Высказывание – импликация – ложно, если А – истинно, а В – ложно, и истинно во всех других случаях.

Например: Предварительно обозначим: истинно – и, ложно– л.

а) (1+1 = 2) (Париж – столица Франции). Высказывание истинно: и и.

b) (1+1 2) (Париж – столица Франции). Высказывание истинно: л и.

с) (1+1 2) (Рим – столица Франции). Высказывание истинно: л л.

d) (1+1 = 2) (Рим – столица Франции). Высказывание ложно: и л.

Определение 19. Высказывание истинно, когда А и В оба истинны или оба ложны.

Вывод: Всякое высказывание, построенное при помощи логических связок, имеет некоторое истинностное значение, зависящее от истинностных значений составляющих высказываний.

П. 3. Таблицы истинности.

Определение 20. Пропозициональная форма или формула алгебры высказываний – это выражение, построенное из пропозициональных переменных (высказываний) с помощью логических связок, точнее 1) все высказывания – есть формула, 2) если А и В – формулы, то ( А), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ) – тоже формулы, 3) только те выражения являются формулами, для которых это следует из 1) и 2).

Всякая формула алгебры определяет некоторую истинностную функцию, которая, в свою очередь, определена на множестве {и, л}. Графически формула (т.к. это функция) может быть представлена истинностной таблицей или таблицей истинности для этой формулы.

Определение 21. Таблица истинности – распределение истинностных значений пропозициональных букв (высказываний), входящих в формулу.

Построение таблицы истинности: под всеми вхождениями каждого из высказываний подписываем соответствующие истинностные значения. Каждая строка таблицы содержит некоторое распределение истинностных значений для букв и соответствующие истинностные значения, принимаемые различными формулами, которые возникают при построении окончательной формулы.

Примеры.

Пример 1. Таблица истинности для отрицания. (См. определение 15.)

А	А ( )
и	л
л	и

Пример 2. Таблица истинности для конъюнкции. (См. определение 16.)

А	В	(А & В)
и	и	и
л	и	л
и	л	л
л	л	л

Пример 3. Таблица истинности для дизъюнкции. (См. определение 17.)

А	В
и	и	и
л	и	и
и	л	и
л	л	л

Пример 4. Таблица истинности для импликации. (См. определение 18.)

А	В	( )
и	и	и
л	и	и
и	л	л
л	л	и

Пример 5. Таблица истинности для эквивалентности. (См. определение 19.)

А	В	( )
и	и	и
л	и	л
и	л	л
л	л	и

Определение 22. Внешне различные выражения называются равносильными ( или А = В), если их таблицы истинности одинаковы.

Например: и .