П. 2. Логические связки (логические операции или пропозициональные связки).
Будем рассматривать только истинностно-функциональные комбинации высказываний, т.е. в которых истинность или ложность новых высказываний определяется истинностью или ложностью составляющих высказываний.
Определение 9. Логические связки – функциональные или логические операции над высказываниями.
Виды связок.
1)
– отрицание.
А,
А
– «не А». Другое обозначение:
–
«не А».
Замечание. Отрицание для кванторов.
Рассмотрим утверждение: Для всех x существует y, такой, что для любых z и h выполняется свойство p(x, y, z, h). Запишем его посредством кванторов:
.
Правило для отрицания: меняем квантор на противоположный, а последнее утверждение заменяем отрицанием.
В рассмотренном примере получаем:
.
2)
(другое обозначение &
) – «и» – конъюнкция.
или
А & В
– «А и В».
Определение 10. Конъюнкт или
конъюнкция двух переменных –
выражение вида
или их отрицание:
,
.
Пример. Высказывание «Диагонали любого ромба перпендикулярны и делят углы при вершинах ромба пополам» – является конъюнкцией. Это сложное высказывание, состоящее из двух простых, связанных союзом «и». Оба истинны, следовательно, истинным является и сложное высказывание, которое есть конъюнкция двух высказываний.
3)
– «или» – дизъюнкция.
– «А или В», хотя бы один из них.
Определение 11. Дизъюнкт или
дизъюнкция двух переменных –
выражение вида
или их отрицание:
,
.
Пример. Высказывание «Завтра на уроке математики будет контрольная или проверочная работа» – дизъюнкция, состоящая из двух высказываний: 1) «Завтра на уроке математики будет контрольная» и 2) «Завтра на уроке математики будет проверочная работа», связанных союзом «или».
Определение 12. Дизъюнктивная нормальная форма – это дизъюнкция нескольких конъюнктов.
Например:
– А и В находятся в дизъюнктивной
нормальной форме.
Определение 12/. Конъюнктивная нормальная форма – это конъюнкция нескольких дизъюнктов.
Например:
– А и В находятся в конъюнктивной
нормальной форме.
4)
(другое обозначение
)
– «если одно, то и другое» –
импликация.
– «если А, то и В».
5)
(другие обозначения
,
~ ) – «тогда и только тогда, когда»
– эквивалентность или эквиваленция.
– « А тогда и только тогда, когда В»
6)
– симметрическая разность
– либо А обладает каким-нибудь
свойством f, либо В
обладает каким-нибудь свойством f,
но не оба вместе.
Пример. Записать свойства бинарных отношений при помощи логических связок.
Решение.
1. Рефлексивность:
.
(если
для всех
)
2. Антирефлексивность:
.
3. Симметричность:
.
4. Антисимметричность:
.
5. Асимметричность:
.
6. Транзитивность:
Определение 13. Формула алгебры логики – простые высказывания или сложные, полученные из простых посредством применения конечного числа логических операций.
Свойства логических операций (основные законы алгебры)
1. Коммутативность.
,
,
.
2. Ассоциативность.
,
,
.
Замечание. Свойства 1,2 не выполняются
для импликации «
»,
т.е.
,
.
3. Дистрибутивность.
,
,
,
.
4. Отрицание.
,
,
,
.
5. Импликация.
,
,
.
Определение 14. Пусть
множество
или предметная область,
предметные
переменные. n-местным
предикатом, определенным на области
X, называют отображение
множества Х во множество высказываний.
n-местный предикат
– это связное повествовательное
предложение, содержащее n
переменных и обладающее следующим
свойством: при фиксации всех переменных
о нем (предложении) можно сказать ложно
оно или истинно.
Предикат – синоним слова «отношение», т.е. это функция, утверждающая истину или ложь.
Обозначение: Р(x1,x2,…xn) или f(x1,x2,…xn).
Пример 1. а)
–
человек – одноместный предикат,
b)
– одноместный предикат.
истинно,
ложно.
c)
– одноместный предикат, при всех х
ложный.
d) предикат равенства
.
При
ложно,
истинно.
Это двуместный предикат.
е)
натуральное
число х делится без остатка на
натуральное число y
– двуместный предикат на множестве
натуральных чисел.
истинно,
ложно.
Пример 2. Даны предикаты:
–
человек;
–
машина;
ездит
на y. Записать
утверждения: а) никакой человек не
является машиной, b)
существует человек, с) только люди
водят машины.