§ 2. Математическая логика.

Определение 1. Логика – анализ методов рассуждений.

Рассмотрим два вывода: 1) Все люди смертны. Сократ – человек, следовательно, Сократ смертен. 2) Все кролики любят морковь. Ушастик – кролик, следовательно, Ушастик любит морковь.

Оба вывода имеют одну и ту же форму: все А суть В, С есть А, следовательно, С есть В.

Логик желает знать, вытекает ли истинность заключения из истинности посылок.

Основная задача логика – систематическая формализация и каталогизация правильных способов рассуждений.

Главная цель математической логики – дать точное и адекватное определение понятия «математическое доказательство».

Определение 2. Алфавитом называется любое непустое множество. Элементы этого множества называются символами алфавита.

Определение 3. Словом в алфавите называется произвольная, конечная (возможно, пустая) последовательность символов из .

Определение 4. Произведением слов a и b называется слово ab. Предложение – произвольная конечная последовательность слов.

Определение 5. Рассмотрим алфавит: , где , , . Символы из называются переменными высказываниями или пропозициональными буквами. Символы из называются логическими связками или пропозициональными связками. Символы из (скобки, запятые) называются вспомогательными символами.

П. 1. Высказывания (пропозициональные буквы)

Истина и ложь – слова, которые называются значениями истинности.

Определение 6. Высказывание – утвердительное предложение, про которое можно сказать истинно оно или ложно.

Например, «идет дождь» – высказывание, «пойдем обедать» – не высказывание.

Высказывание может быть выражено с помощью слов, а также с помощью математических, химических и других знаков.

Не являются высказываниями 1) восклицательные и вопросительные предложения; 2) также определения (они устанавливают названия и понятия некоторого объекта); 3) также предложения типа: «он сероглаз или » (не указано, о каком человеке идет речь, при каких х рассматривается неравенство; такие предложения с неизвестной переменной называются неопределенными высказываниями).

Например, «некоторые люди – сероглазы» – высказывание, «для всех справедливо неравенство » – высказывание, причем 1) – истинное, а 2) – ложное.

Высказывания, которые можно разложить на части – сложные, нельзя – простые.

Из высказываний путем соединения их различными способами можно составлять новые, более сложные высказывания.

Иногда бывает удобнее представлять некоторые словесные выражения – высказывания, посредством логических символов, которые называются кванторами.

Кванторы.

Определение 7. Кванторы – логические символы или специальные обозначения для некоторых часто встречающихся выражений.

Например: 1) Квантор общности – – любой, каков бы ни был.

– для всех x истинно (или выполнимо) свойство p(x).

2) Квантор существования – – существует.

– найдутся (или существуют) x, обладающие свойством p(x).

Пример 1.

Дано высказывание: «Утверждение, что множество А есть часть множества В, означает, что все элементы из А являются элементами из В». Записать посредством кванторов.

Решение. .

Пример 2.

Дано высказывание: «Утверждение, что множество А не есть часть множества В, равносильно следующему: существует такой элемент из А, что он не принадлежит В». Записать посредством кванторов.

Решение. .

Замечание. В основе математической логики лежит логика высказываний, в которой высказывания изучаются с помощью особого буквенного исчисления, называемого алгеброй логики.

Определение 8. Алгебра логики – раздел математической логики, который изучает общие свойства выражений, составленных из высказываний с помощью логических операций.