5. Двоїсті задачі лінійного програмування. Економічна інтерпретація цих задач і їхніх рішень.

   1. Поняття подвійності.

З кожною З.Л.П. тісно зв'язана інша задача лінійного програмування, звана двоїстою. Первісна задача називається вихідної. Їхній зв'язок полягає в тому, що рішення однієї з них може бути отримане з рішення іншої, так і використання отриманого рішення однієї для проведення економічного аналізу іншої задачі.

Як приклад, розглянемо задачу розподілу ресурсів, записану в загальному виді.

Постановка задачі

Підприємство має m видів ресурсів у кількості одиниць, з яких виробляється n видів продукції. Для виробництва одиниці j-ої продукції витрачається a_ij одиниць i-го ресурсу, а вартість одиниці j-ої продукції - C_j.

Потрібно знайти план випуску продукції, що забезпечує її максимальний випуск у вартісному вираженні.

Змоделюємо задачу. Для цього позначимо за X_j кількість одиниць j-ой продукції, планованої для виробництва. Тоді математична модель: знайти X=(X₁,X₂,..,X_n) , дозволяючий

(47)

і що доставляє

(48)

Двоїста задача.

Постановка. Підприємство не хоче випускати продукцію, а хоче продати наявні в нього ресурси, причому так, щоб сумарна вартість усіх ресурсів, витрачених би на випуск одиниці j-ого виду продукції, була не нижче вартості одиниці цієї продукції. Покупець хоче заплатити за всі ресурси мінімальну сумарну вартість.

Змоделюємо двоїсту задачу.

Позначимо через y_i (i=1,…,m) вартість одиниці i-го виду ресурсів. Тоді вартість усіх ресурсів дорівнює , а вартість усіх ресурсів, що йдуть на виготовлення одиниці j-го виду продукції, дорівнює

Тоді двоїста задача формулюється: знайти , що задовольняє

(49)

і що доставляє

(50)

Перемінні називаються чи оцінками обліковими, неявними цінами.

2. Види двоїстих задач. Теореми подвійності.

Двоїсті задачі бувають несиметричні і симетричні. Представимо ці види задач у матричній формі.

Несиметричні задачі

Вихідна задача Двоїста задача

(51)

(52)

Симетричні задачі

(53)

(54)

(55)

Зв'язок між оптимальними планами пари двоїстих задач установлює

Теорема 8. Якщо з пари двоїстих задач одна має оптимальний план, то й інша має рішення, причому min Z = max f чи min f = max Z. Якщо функція мети однієї з задач не обмежена, то друга задача не має рішення.

Використовуючи цю теорему можна за результатами рішення однієї задачі знайти оптимальне рішення іншої задачі, якщо воно існує.

Більш конкретно зв'язують оптимальні рішення пари симетричних двоїстих задач наступні тотожності, зазначені в теоремі 9.

Теорема 9.

Для оптимальних рішень пари симетричних двоїстих задач = (X⁰₁,X⁰₂,…,X⁰_n) і

вірні тотожності

(56)

(57)

З теореми 9 випливає зв'язок між обмеженнями однієї задачі і перемінними іншої. Для оптимальних планів цих задач випливає, що якщо i-компонента двоїстої задачі y⁰_i>0 (56), те i-оі обмеження вихідної задачі перетворюється в строгу рівність і навпаки. Аналогічно для (57), якщо X⁰_j>0, те j-оі обмеження двоїстої задачі строга рівність і навпаки.

Розглянемо на прикладі як ці теореми використовуються для рішення двоїстих задач і економічного аналізу отриманих результатів.