5. Метод штучного базису.

Нехай З.Л.П. не приведена до канонічного виду, а має загальний вид

(43)

(44)

Де

У цьому випадку для рішення З.Л.П. застосовується метод штучного базису.

Для одержання базисних змінних до кожного з m рівностей обмежень (44) додамо по однієї змінної X_n + i ≥ 0 , що назвемо штучними і розглянемо розширену задачу.

Min =C₁X₁+…+C_nX_n+M(X_n+1+…+X_n+m) (45)

(46)

де М – досить велике позитивне число.

(45) – (46) називається М – задачею, перемінні X_n+1,…,X_n+m-штучні базисні змінні.

Верна теорема 7. Якщо в оптимальному плані М – задачі X=(X⁰₁,X⁰₂,-X⁰_m,0,…,0) усі штучні змінні X_n+1=0 (i=1,..,m),те вихідна задача (43-44) має рішення і її оптимальний план X⁰=(X⁰₁,…,X⁰_m)

З теореми 7 випливає, що якщо в оптимальному плані М-задачі є хоча б одна Xn+I>0 те вихідна задача не сумісна, тобто не має рішення.

Зауваження 10. Якщо вихідна задача розв’язується на max Z, то функція мети М-задачі має вид Z=C₁X₁+C₂X₂+…+C_nX_n-M(X_n+1+…+X_n+m)

При рішенні М-задачі оцінки змінних .

Тому ці оцінки записуються не в один рядок, а в двох. У m+1 – рядку коштують ∆'j (без М), а в m+2 – рядку коштують коефіцієнти при М ∆''j (рядок з М). При цьому по m+2 – рядку визначається перемінна, що вводиться в базис. Перерахування симплексів-таблиць у такий спосіб виробляється по m+2 – рядку до виключення з базису всіх штучних перемінних, а потім процес відшукання оптимального плану продовжується по оцінках ∆'j коштує в m+1 – рядку. Розглянемо і вирішимо З.Л.П. методом штучного базису, приведену в прикладі.

Складемо з вихідної задачі М-задачу. В 2-ому рівнянні є базисна перемінна X₅, тому туди не додаємо штучну перемінну.

MinZ=3X₁-X₃+X₄-2X₅+M(X₆+X₇)

X₁-X₂+2X₃+4X₄+X₆=11

X₁-X₂+3X₃+6X₄+X₅=19

2X₁-3X₂+5X₃+11X₄+X₇=26

Xj≥0

Запишемо дані в симплекс-таблицю і заповнимо оцінні рядки 4 і 5 по формулах

			3	0	-1	1	-2	М	М
Xb	Cb	(Xb)i	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	Θ
X6	M	11	1	-1	2	4	0	1	0	11/4
X5	-2	19	1	-1	3	6	1	0	0	19/6
X7	M	26	2	-3	5	11	0	0	1	26/11
БезM	Z	-38	-5	2	-5	-13	0	0	0
СМ	Z	37	3	-4	7	15	0	0	0
Х6	M	17/11	3/11	1/11	2/11	0	0	1	-4/11	17/3
X5	-2	53/11	-1/11	7/11	3/11	0	1	0	-6/11
X4	1	26/11	2/11	-3/11	5/11	1	0	0	1/11	26/2
БезM	Z	80/11	-29/11	-17/11	10/11	0	0	0	13/11
CM	Z	17/11	3/11	1/11	2/11	0	0	0	-15/11
X1	3	17/3	1	1/3	2/3	0	0	11/3	-4/3	17/2
X5	-2	16/3	0	2/3	1/3	0	1	1/3	-2/3	16
X4	1	4/3	0	-1/3	1/3	1	0	-2/3	-1/3	4
БезM	Z=	23/2	0	-2/3	8/3	0	0	29/3	7/3
CM	Z=0	0	0	0	0	0	0	1	1
X1	3	3	1	1	0	-2	0			3/1
X5	-2	4	0	1	0	-1	1			4/1
X3	-1	4	0	-1	1	3	0			-
Z	=	-3	0	2	0	-8	0
X2	0	3	1	1	0	-2	0
X5	-2	1	-1	0	0	1	1
X3	1	7	1	0	1	1	0
Z		-9	-2	0	0	-4	0

У 5-ої (m+2) рядку є оцінки ∆''j >0 (∆₁=3;∆₃=7;∆₅=15)

Тому опорний план М-задачі не оптимальний. Тому що ∆₅=15 (оцінка з М) найбільша, то X₄ введемо в базис. Знайдемо для X₄ симплексне відношення Θ₀=min(11/4;19/6;26/11)=26/11

Тому дозволяє елемент =11 і X₇ виводимо з базису. Для цього перераховуємо таблицю, застосовуючи (41) – (42), і так далі.

Після двох перерахувань чи таблиці двох ітерацій у базисі не залишиться штучних змінних, базисні перемінні X1,X4,X5 m+2 (п'яту) рядок відкидаємо й аналіз проводимо по 4 рядку. Тому що ∆3=8/3>0, то отриманий опорний план не оптимальний і в базис уводимо переменнуюX3 (вектори₃) замість X4, Θ₀=min(17/2;16;4)=4

Елемент, дорівнює 1/3. Після перерахування таблиці одержуємо, що опорний план з базисними перемінними неоптимальний, тому що ∆₂=2>0. Тому X₂ вводимо, як нову базисну змінну замість X₁, тому що Θ₀=min(3/1;4/1)=3

У результаті перерахування симплекса-таблиці одержали оптимальний план X⁰=( ⁰₁=0; X⁰₂=3; X⁰₃=7; X⁰₄=0; X⁰₅=1), тому що всі ∆j≤0, що забезпечує min=Z(X⁰)=-9