2. Умови оптимальності опорного плану.

Нехай З.Л.П. має плани і кожен опорний план не вироджений. У випадку опорного плану (23) =(X₁,X₂,..,X_m,0,..,0)

X₁Ā₁+X₂Ā₂+…+X_mĀ_m=A₀ (33)

Z(X₀)=X₁C₁+X₂C₂+..+X_mC_m (34)

причому всі X_j>0

Вектори Ā₁,Ā₂,..,Ā_m- базис, тому будь-який Ā

X_1j1+X_2j2+..+X_mj=Ā_j (35)

і Z_j=X_1j1+X_2j2+…+X_mjC_m (36)

Тоді вірні наступні твердження:

Теорема 5. Якщо для деякого Ā_j виконується умова ∆_j=Z_j-C_j>0, то план X_on не є оптимальний і можна побудувати план X, для якого Z(X)<Z(X_on)

Доказ.

Помножимо (35) і (36) на Θ>0 і віднімемо їх, відповідно, з (33) і (34). Одержимо

(X₁-ΘX_1j)Ā₁ +(X₂-ΘX_2j)Ā₂+…+(X_m-ΘX_mj)Ā_m +ΘĀ_j = Ā_o (37)

(X₁-ΘX_1j)C₁+(X₂-ΘX_2j)C₂+…+(X_m-ΘX_mj)C_m+ΘC_j=Z(X_on)-Θ(Z_j-C_j) (38)

Вибравши Θ>0, так щоб у (37) коефіцієнти були ≥0 ми одержимо новий план = (X₁-ΘX_1j,X₂-ΘX_2j,…,X_m-ΘX_mj,Θ,0....,0)

якому відповідає значення функції мети (38)

(39)

Тому що ∆j=Z_j-C_j>0 і Θ>0, те (X)< (Xon), ∆j=Z_j-C_j називаються оцінками плану.

З теореми 5 випливає, що критерієм введення вектора Ā_j (перемінної X_j) у базис є ∆_j>0

Наслідок 4. Якщо для деякого плану оцінки для всіх його векторів Ā_j ∆j≤0 (j=1,..,n), то план оптимальний.

Для З.Л.П. з функцією мети на max справедлива теорема.

Теорема 6.

Якщо для деякого вектора Ā_j виконується ∆j<0,то план не оптимальний і можна побудувати такий план , для якого Z( )>X( )

Зауваження 5. Якщо для деякого плану X₀ оцінки для всіх його векторів Ā_j ∆j≥0, то план оптимальний.

3. Алгоритм симплексного методу.

З.Л.П. зображена в канонічній формі (22).

1. Заповнюємо початкову симплекс-таблицю. Її вид

Таблиця

Баз.	З	Xб(Ā0)	C1	C2		Cm	Cm+1		Cn
перем.	базис.		Ā0(X1)	Ā2(X2)	……….	Ām(Xm)	Ām+1(Xm+1)	…	Ān(Xn)
X1	C2	X1	1	0		0	X1m+1
X2	C2	X2	0	0		0	X2m+2
---	------	------	-------	-------	-------	--------	----------	----	----
Xm	Cm	Xm	0	1		1	Xmm+1		Xmm
∆j=Zj-Cj		Z0	0	0		0	∆m+1	…	∆n

У перших m рядках таблиці стоять вектори Ā_j, компоненти яких є коефіцієнтами в рівняннях обмежень при X_j . Остання m+1 рядок оцінна. Вона заповнюється в такий спосіб: стовпець З, як вектор, скалярно збільшується на всі наступні стовпці-вектори, причому Z₀=( • Ā_j), а ∆j=(Ā_j• )-C_j. Якщо в останньої, m+1, рядку всі оцінки ∆j≤0, то план X_on=(b₁;b₂;..,b_m;0;..,0) - оптимальний і min Z=Z₀. Якщо є ∆j>0, то X₀ план не оптимальний і включаючи кожної з векторів Āj (перемінну Xj) у базис можна одержати інший опорний план з меншою функцією мети. Якщо ∆j>0 трохи, то існують два шляхи перерахування таблиці. Перший шлях прискорений: у базис уводиться той вектор Ā_j (змінна X_j), якому відповідає max/Θ_0j· ∆_j/ ,де max береться по j, для яких ∆j>0 і Θ_0j визначається для кожного Ā_j, що вводиться в базис. При цьому функція мети для нового плану X зменшується (39) максимально. Це дозволяє знайти оптимальний план при меншому числі кроків перерахування симплекса-таблиці. Другий шлях спрощений: у базис уводиться вектор Ā_j з max∆_j

2. Після визначення вектора, що вводиться в базис, по спрощеному шляху, наприклад, Ā_k, знаходимо для нього мінімальне симплексне відношення

(40)

Зауваження 6

Якщо хоча б для однієї ∆j>0 всі компоненти вектора Ā_j X_ij≤0 ,то функція мети Z не обмежена на багатограннику рішень. У цьому випадку багатогранник рішень необмежений (зауваження 5). Вибираючи Θ>0 як завгодно великим, одержуємо з (39), що min Z = -∞

Нехай у (40) , тобто симплексне відношення досягається для базисної змінний X_e що стоять у е-рядку і к-ий стовпець, на перетинанні яких стоїть X_ek називаються теж дозволяють.

Застосуємо формули повного виключення методу Жордана-Гаусса і введемо вектор Ā_k(Xk) у базис на місце вектора Ā_e(X_e). За цими формулами

(41)

перераховуються всі елементи старої таблиці та заповнюється нова таблиця, у тому числі й елементи оцінної m+1 рядка.

Якщо в m+1 рядку всі ∆j≤0, то отриманий у новій таблиці план оптимальний. Якщо є ∆j>0, то знову шукається новий опорний план і перераховується таблиця по (41). Процес продовжується або до одержання оптимального плану, або до встановлення необмеженості.

Зауваження 7. Якщо в отриманого оптимального плану оцінки ∆j>0 відповідають тільки базисним змінної, то цей план єдиний. У противному випадку цей оптимальний план не єдиний, тому що при введенні в базис вектора з ∆j>0 функція мети й оцінки ∆j, перелічувані по (41), не міняються. У випадку не одиничності оптимального плану в силу опуклості багатогранника рішень таких планів нескінченна безліч.

Зауваження 8. При рішенні З.Л.П. на max алгоритм перерахування симплексів-таблиць не міняється, тільки в базис треба вводити вектори з ∆j<0, тому що в цьому випадку план оптимальний, якщо всі ∆j≥0

Приклад 2. Вирішимо симплексом-методом задачу, розглянуту в попередньому прикладі. За початковий опорний план візьмемо перший опорний план =(3;0;4;0;4), якому відповідає функція мети Z₁=-3 зі значенням, більшим, ніж для другого опорного плану (Z₂=-9). Це дозволить зробити симплексним методом, принаймні, одне перерахування таблиці, тому що неоптимальний.

У цьому випадку З.Л.П. має канонічну форму виду

X₁+X₂-2X₄ =3

X₂-X₄+X₅ =4

-X₂+X₃+3X₄=4

___

X_j≥0 (j=1,..,5)

Min Z=3X₁-X₃+X₄-2X₅

Вирішимо цю задачу за алгоритмом симплекса-методу. Для цього заповнимо симплекс-таблицю.

Баз.	З	Xбаз	3	0	-1	1	-2	Θ0
перем.	базис.		X1	X2	X3	X4	X5
X1	3	3	1	1	0	-2	0	3/4
X5	-2	4	0	1	0	-1	1	4/1
X3	-1	4	0	-1	1	3	0	-
Z	=	-3	0	2	0	-8	0
X2	0	3	1	1	0	-2	0
X5	-2	1	-1	0	0	1	1
X3	-1	7	1	0	1	1	0
Z=-9			-2	0	0	-4	0

Обчислюємо й оцінки . Тому що ∆2=2>0,то план не оптимальний. Тому шукаємо інший опорний план, уводячи перемінну X₂ , вектор Ā₂, у базис. Для перерахування таблиці знаходимо симплексне відношення для X₂ Θ₀ = min(3/1; 4/1)=3. Тоді X₁₂ =1 є елементом, що дозволяє, стовпець з _X2 і рядок з _X1 що дозволяють. По формулах (41) перераховуємо всю таблицю, у тому числі і

елементи останнього оцінного рядка. Тому що всі , то отриманий опорний план =(X₁=0; X₂=3; X₃=7; X₄=0; X₅=1) оптимальний, причому функція мети Z( )=-9

Зауваження 9. Для простоти перерахування таблиці можна використовувати таку схему (правило прямокутника):

(42)

Де Н.э- елемент у новій таблиці, що займає ту саму позицію, що і С_Е елемент у старій таблиці, P_Е- елемент, що дозволяє, D₁ і D₂ - додаткові елементи, що стоять на другій діагоналі прямокутника, якщо вважати, що першу діагональ складають елементи СЭ і РЭ.

Якщо розділити почленно чисельник (42) на P_Е, то одержимо правило трикутника, перша формула в (41).

Зауваження 10

Правило заповнення оцінного рядка для початкової симплекса-таблиці можна для наступних симплексів-таблиць застосовувати для перевірки правильності обчислень по формулах (41).