4. Графічний метод рішення з.Л.П

Він застосовується, в основному, при рішенні З.Л.П. на площині й рідко в тривимірному просторі.

Загальний вид двовимірної З.Л.П., тобто такої що містить дві перемінні

min(max) Z=C₁X₁+C₂X₂ (11)

(12)

X₁≥0; X₂≥0 (13)

Кожна нерівність з обмежень задачі (12-13) задає на площині X₁ 0 X₂ напівплощина, границею якої є пряма, що задається відповідного рівністю, тому що X₁≥0, X₂≥0 задають 1 чверть, то сфера припустимих чи рішень планів З.Л.П., що є перетинанням цих напівплощин, якщо вона не порожня, знаходиться в I-ої чверті й являє собою багатокутник закритий чи відкритий. Функція мети Z задає сім’я рівнобіжних прямих, перпендикулярних вектору нормалі =(C₁;C₂) , причому для всіх точок кожної з цих прямих, вона набуває того самого значення. При русі прямої із сім’ї в напрямку вектора це значення зростає, у протилежну - убуває.

Можуть бути різні випадки, зображені на рисунку.

X 2 C X2

B

D

_ A _

N N

0 X1 0 X1

рис.1. рис.2.

a) б) в)

ℓ1

X2 X2 X2

A

_ _ _ ℓ2

N N N

B

0 X1 0 X1 0 X1

рис.3.

Випадок 1. Якщо багатокутник рішень обмежений (рис.1), то min і max функції мети кінцеві; причому min Z = Z(B), а max Z = Z(D).

Випадок 2. Багатокутник рішень не обмежений. У цьому випадку функція мети може бути:

2.1. Не обмежена ні зверху, ні знизу (рис.2), тому що прямі сім’ї, що задається функцією мети, будуть мати загальні точки з багатокутником рішень при русі їх як завгодно далеко від початку координат як у напрямку вектора N, так і в протилежну сторону N.

2.2. Не обмежена знизу, тобто min Z = -∞ , а max Z = Z(A) (рис.3,а)

2.3. Не обмежена зверху, тобто max Z = ∞ , а min Z = Z(B) (рис.3,б)

2.4. Кінцева, причому max Z = Z(ℓ₁₎, а min Z = Z(ℓ₂₎, тобто екстремуми досягаються не в одній точку, а на всіх точках двох граничних прямих, перпендикулярних

Зауваження 4. Якщо система обмежень З.Л.П. містить n невідомих і m лінійно незалежних рівнянь і n-m = 2 , то така З.Л.П. може бути вирішена за допомогою графічного методу з використанням методу Жордана-Гаусса.

Розглянемо алгоритм рішення такої задачі:

(14)

n – m = 2 (15)

X_j 0

1. Використовуємо метод Жордана-Гаусса, метод повного виключення невідомих.

Виключення невідомих на кожному кроці проводиться за формулами

(16)

Причому а_io=b_i. i=1,…m

Перетворення по формулами (16) доцільно проводити в таблиці.

2. Після m кроків, пророблених за (16), приведемо систему обмежень до виду

(17)

(18)

3) Виражаючи з (17) базисні через вільні змінні X_m+1, X_n і підставляючи X_i у (14) одержуємо вираження Z через X_m+1,X_n

(19)

4) З огляду на, що , одержуємо з (17), відкидаючи X_i, систему обмежень з нерівностей

(20)

X_m+1≥0, Xn≥0

Ця задача (19-20) містить два невідомих і зважується графічно.

Приклад 3. Дана З.Л.П.

minZ=3X₁-X₃+X₄-2X₅

X₁-X₂+2X₃+4X₄=11

X₁-X₂+3X₃+6X₄+X₅=19

-2X₁+3X₂-5X₃-11X₄=-26

1. Методом Жордана-Гаусса знайти початковий опорний план.

2. Для цього плану обчислити функцію мети.

3. Перейти до іншого опорному плану методом Жордана-Гаусса.

4. Вирішити задачу геометрично.

Рішення.

1) Усі обчислення за методом Жордана-Гаусса будемо робити в таблиці, попередньо помноживши 3-і рівняння на – 1, що б b₃=26>0 Позначимо

№ кроку	Ā1	Ā2	Ā3	Ā4	Ā5	Ā0
	1	-1	2	4	0	11
0	1	-1	3	6	1	19
	2	-3	5	11	0	26
	1	-1	2	4	0	11
1	0	0	1	2	1	8
	0	-1	1	3	0	4
	1	1	0	-2	0	3
2	0	1	0	-1	1	4
	0	-1	1	3	0	4
	1	1	0	-2	0	3
3	-1	0	0	1	1	1
	1	0	1	1	0	7

Вибравши a₁₁=1 елементом, що дозволяє, застосуємо формулу (16), і перерахуємо елементи нової таблиці на 1-ому кроці. При виборі елемента, що дозволяє, враховуємо дві умови: компоненти A₀ у новій таблиці повинні бути 0 і для спрощення рахунку елемент, що дозволяє, повинен бути ближче до 1, а найкраще дорівнює 1. Тому після 1-го кроку, для перерахування таблиці, що дозволяє елемент a₃₃=1, тому що в 1-ому і 2-ому рівняннях уже є базисні змінні X₁ і X₅ (вектори Ā₁ і Ā₅ одиничні). У результаті 2-го кроку були отримані три базисні змінні X₁, X₅ і X₃, яким відповідають базисні одиничні вектори₁, Ā₅, Ā₃. Узявши вільні перемінні X₂ = X₄ =0, одержимо початковий опорний план З.Л.П. *=(3;0;4;0;4), якому відповідає функція мети Z₁=3·3-4·1-2·4=-3

3. Перейдемо на 3-ому кроці до іншого опорного плану. Для цього треба замість якої-небудь базисної перемінної ввести іншу. Наприклад, замість X₁ X₂. При цьому елемент, що дозволяє, a₁₂=1 і усі компоненти A₀ у новій таблиці >0. У результаті перерахування таблиці одержали після 3-го кроку нові базисні перемінні X₂, X₅, X₃ (базисні одиничні вектори Ā₂, Ā₅, Ā₃) і новий опорний план _on=(0;3;7;0;1) , що забезпечує функцію мети Z₂=0·3+3·0-7·1+0-2·1= -9

5. Вирішимо задачу геометрично. Це можливо, тому що n – m = 5 – 3 = 2. З огляду на результати, отримані на 3-ем кроці, з таблиці маємо систему рівнянь

X₁+X₂ -2X₄=3 X₂=3-X₁+2X₄≥0

-X₁ +X₄+X₅=1 => X₅=1+X₁-X₄≥0 (21)

X¹ +X₃+X₄=7 X₃=7-X₁-X₄≥0

X_i≥0 j=1,…,5 X₁≥0; X₄≥0

Виразимо Z через X₁ і X₄ , з огляду на отримані вираження базисних змінних X₂, X₅, X₃ через вільні X₁ і X₄

Z=3X₁-(7-X₁-X₄)+X₄-2(1+X₁-X₄)=-9+2X₁+4X₄

Тоді розв'язувана З.Л.П. має вид

minZ=-9+2X₁+4X₄; -9+minZ1=2X₁+4X₄

X₁-2X₄≤3

-X₁+X₄≤1 X₁≥0

X₁+X₄≤7 X₄≥0

Побудуємо багатогранник рішень на площині X₁OX₄ у 1-ої чверті.

Граничні прямі: будуємо по двох точкою

X1	0	3
X4	-1,5	0

X₁-2X₄≤3: => X₄ 

X1	0	-1
X4	1	0

X₄≤1+X₁ => ℓ₂: X₄=7-X₁;

X1	0	7
X4	7	0

X₄≤7+X₁ => ℓ₃: X₄=7-X₁;

Шукані напівплощини позначимо штрихами. У результаті перетинання напівплощин одержуємо багатокутник рішень ОАВСД.

Для відшукання min Z₁ будуємо нормальний вектор N = (2;4) і сім’ю рівнобіжних прямих, що задаються Z₁, перпендикулярних N

Як випливає з мал.4 min Z₁ = Z₁ (0) = Z₁ (0;0) = 2*0+4*0 = 0, тобто min Z = Z(0) = -9. Для відшукання оптимального плану вихідної задачі підставимо знайдені оптимальні

X°₁=X°₄=0 у (21)Одержимо X°₁=0; X°₂=3; X°₃=7’ X°₄=0 X°₅=1