3. Задачі лінійного програмування.

   1. Загальна задача лінійного програмування (о.З.Л.П.)

О.З.Л.П. зображується у вид

max (min) (5)

а₁₁X₁ + а₁₂X₂ + …... + а_1nX_n = b₁

а₂₁X₁ + а₂₂X₂ + …... + а_2nX_n = b₂ (6)

а_m1X₁ + а_m2X₂ + …... + а_mnX_n = b_m

X₁ ≥ 0; X₂ ≥ 0; …..., X_n ≥ 0 (7)

де a_ij, b_i, C_j - задані постійні величини

(i=1;..m j=1;..n)

Зауваження 1. Якщо в обмеженнях З.Л.П. зустрічаються нерівності ≤ чи ≥ , те шляхом уведення додаткових перемінних вони зводяться до рівностей : наприклад,

Х₁+Х₂≤5 =>

Х₁+Х₂+Х3=5, де додаткова перемінна Х₃ ≥0. Якщо 2Х₁-3Х₂  4, одержимо 2Х₁-3Х_2-Х4=4.

Зауваження 2. Якщо в З.Л.П. відсутня для змінної Х_к умова незаперечності (Х_к≥0), то шляхом введення в місце Х_к двох не негативних змінних Х_к'≥0 і Х_к''≥0 і Х_к=Х_к'-Х_к'', таку З.Л.П. можна звести до О.З.Л.П., наприклад якщо Х_к=-5, те –5=3-8, де Х_к'=3>0 і Х_к''=8>0.

Зауваження 3. Від max L легко перейти до min Z, де Z= - L, тому що max L = min (-L). Тому надалі будемо розглядати задачу на min Z.

2. Форми запису о.З.Л.П.

1. Запис за допомогою знаків підсумовування.

min

(8)

X_j≥0

3.2.2. Векторна форма запису.

(9)

де

2. Матрична форма запису.

(10)

де

3.3 Основні визначення о.З.Л.П.

Визначення 1. Планом чи припустимим рішенням О.З.Л.П. називається =(X₁,...X_n), що задовольняє (6-7).

Визначення 2. План називається опорним, якщо вектори , що входять у розкладання (9) з позитивними X_j (X_j>0) лінійно незалежні.

Тому що вектори m-мірні, то в опорному плані число його компонент більших нуля, від може перевищувати m.

Визначення 3. Опорний план * не вирождений, якщо він містить m позитивних компонентів, якщо <m позитивних компонентів, те * вирождений.

Визначення 4. Оптимальним планом О.З.Л.П. ⁰ називається план, що доставляє мінімум функції мети Z.

4. Властивості рішень з.Л.П.

Усі теореми, наведені нижче, даються без доказу. Вони дані в [ 1 ]

Теорема 1. Безліч усіх планів З.Л.П.

Безліч усіх планів З.Л.П., якщо воно не пусто, називається багатогранником рішень.

Теорема 2. Функція мети З.Л.П. досягає свого мінімального значення в кутовій крапці багатогранника рішень.

Якщо функція мети набуває мінімального значення більш ніж в одній кутовій точці, то вона досягає того ж значення в будь-якій крапці, що є опуклою лінійною комбінацією цих точок.

Визначення 5. Точка X* опукла лінійна комбінація точок X₁, X₂,-, X_k,

якщо

Теорема 3. Якщо система векторів Ā₁; Ā₂;…Ā_k(k≤n)у розкладанні (9) лінійно незалежна

Ā₁X₁+Ā₂X₂+…+Ā_kX_k=

де всі X_j ≥0, то X=(X₁;X₂,…,X_k,0,…,0)є кутовою точкою багатогранника рішень.

Теорема 4. Якщо =(X₁;X₂,…,X_n)-кутова точка багатогранника рішень, то вектори Ā_j у розкладанні (9), що відповідають X_j>0 , є лінійно незалежними.

Наслідок 1. Кутова точка багатогранника рішень не може мати більше m позитивних компонентів

Наслідок 2. Кожній кутовій точці багатогранника рішень відповідає k≤m лінійно незалежних векторів системи Ā₁, Ā₂,…,Ā_n з (9).

Наслідок 3. Усі опорні плани З.Л.П. є кутовими точками її багатогранника рішень, причому оптимальний план досягається в одній з них.

Проілюструємо геометрично наведені вище теоретичні положення рішення З.Л.П. Для цього застосуємо графічний метод.