М іністерство освіти і науки України

Кременчуцький державний політехнічний університет

Навчальний посібник

Для практичних занять і контрольних робіт

З дисципліни

“Математичне програмування”

для студентів денної та заочної форм навчання

зі всіх спеціальностей

економічного факультету

та факультету менеджменту

Кременчук 2003

Навчальний посібник для практичних занять і контрольних робіт з дисципліни “Математичне програмування” для студентів денної та заочної форм навчання зі всіх спеціальностей економічного факультету та факультету менеджменту

Укладач доц. Віктор Єгорович Черниченко

Кафедра економіки

Затверджено методичною радою університету

Протокол №____ від___________________2003 р.

Голова методичної ради проф. В.В. Костін

Кременчук 2003

Зміст

1. Задачі, що приводять до поняття математичного програмування.

   1. Задача розподілу ресурсів.

2. Загальна постановка задач математичного програмування.

3. Задачі лінійного програмування.

   1. Загальна задача лінійного програмування (О.3.Л.П.)

   2. Форми запису О.З.Л.П.

   3. Основні визначення О.З.Л.П.

   4. Властивості рішень З.Л.П.

   5. Графічний метод рішення З.Л.П.

4. Симплексний метод рішення З.Л.П.

   1. Вимоги до З.Л.П. для можливості її рішення симплексом-методом.

   2. Побудова опорних планів.

   3. Умови оптимальності опорного плану.

   4. Алгоритм симплексного методу.

5. Метод штучного базису.

6. Двоїсті задачі лінійного програмування. Економічна інтерпретація цих задач та їхніх рішень.

   1. Поняття подвійності.

   2. Види двоїстих задач. Теореми подвійності.

   3. Рішення задачі про розподіл ресурсів з економічним аналізом отриманих результатів.

7. Завдання для самостійної роботи.

1. Задачі, що приводять до поняття математичного програмування.

   1. Задача розподілу ресурсів.

Підприємство може виготовити 3 види продукції П-1, П-2, П-3. Збут будь-якого її обсягу забезпечений. Підприємство використовує протягом доби трудові, матеріальні і верстатні ресурси. Запаси ресурсів, кількість їхніх одиниць, витрачуваних на виготовлення одиниці продукції, а також величина прибутку, одержуваного від реалізації одиниці продукції, наведені в табл.1.1. Потрібно скласти такий план випуску продукції, щоб при її реалізації дістати максимальний прибуток.

Табл.1.1.

Ресурси, їхні запаси, норми їхніх витрат і прибуток від реалізації один. продукції.

Ресурси	Продукція			Запаси ресурсів
	П-1	П-2	П-3
Трудові	2	3	2	150
Матеріальні	4	10	3	250
Верстатні	8	6	4	400
Прибуток	40	60	100	max

Формалізуємо задачу, тобто складемо її математичну модель.

Позначимо через Х₁, Х₂, Х₃ – кількість зробленої продукції виду П-1, П-2, П-3, через L – сумарний прибуток від її реалізації.

Тоді кількість витрачених ресурсів і їхні запаси складуть обмеження задачі

2Х₁ + 3Х₂ + 2Х₃ ≤150

4Х₁ + 10Х₂ + 3Х₃ ≤250 (1)

8Х₁ + 6Х₂ + 4Х₃ ≤400

причому Х₁≥0, Х₂≥0, Х₃≥0.

При цьому мета задачі, максимальний сумарний прибуток, виразиться як

max L = 40Х₁ + 60Х₂ + 100Х₃ (2)

Функція мети (2) і обмеження (1) утворять математичну модель розглянутої задачі розподілу ресурсів. Розглянута задача (1 – 2) є задачею лінійного програмування, частки випадку задач математичного програмування.

2. Загальна постановка задач математичного програмування і їхня класифікація.

Загальною формою запису задач математичного програмування є

max (min) L = f (Х₁, Х₂, …, Х_n) (3)

φ₁ (Х₁, Х₂, …, Х_n) b

φ₂ (Х₁, Х₂, …, Х_n) b₂ (4)

φm (Х₁, Х₂, …, Х_n) b_m

_____

а) Якщо f і φ_i (i=1; …, m) лінійні щодо перемінних Х₁, Х₂, …, Х_n, те (3-4) задача лінійного програмування (З.Л.П.)

б) Якщо в З.Л.П. перемінні можуть бути тільки ненегативними, цілочисленими, то це задача цілочисленого програмування З.Ц.П.

в) Якщо в (3-4) хоча б одна з функцій f чи φ_i не лінійна, те це задача нелінійного програмування (З.Н.П.)

Часткою случаємо З.Н.П. є задача квадратичного програмування (З.К.П.), коли функції φ_i - лінійні, а функція мети f являє собою квадратичну функцію від перемінних.

Приклад 1. max f = Х₁² + Х₂² – 2X₁ – 4X₂

Х₁ + X₂ ≤ 5

2X₁ – 3X₂ ≤ 6

X₁ ≥0; X₂ ≥ 0