Міністерство освіти і науки України

Кременчуцький державний політехнічний університет

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

ЩОДО ПРОВЕДЕННЯ ЛАБОРАТОРНОЇ РОБОТИ

З НАВЧАЛЬНОЇ ДИСЦИПЛІНИ “МАТЕМАТИЧНЕ ПРОГРАМУВАННЯ”

З ТЕМИ “НЕЛІНІЙНЕ ПРОГРАМУВАННЯ. КВАДРАТИЧНЕ ПРОГРАМУВАННЯ”

ДЛЯ СТУДЕНТІВ ДЕННОЇ ТА ЗАОЧНОЇ ФОРМ НАВЧАННЯ

З УСІХ СПЕЦІАЛЬНОСТЕЙ

ФАКУЛЬТЕТІВ ЕКОНОМІЧНОГО ТА УПРАВЛІННЯ

КРЕМЕНЧУК 2006

Методичні вказівки щодо проведення лабораторної роботи з навчальної дисципліни “Математичне програмування” з теми “Нелінійне програмування. Квадратичне програмування ” для студентів денної та заочної форм навчання з усіх спеціальностей факультетів економічного та управління

Укладач доцент В.Є. Черніченко

Рецензент О.І. Маслак

Кафедра економіки

Затверджено методичною радою КДПУ

Протокол № від "___" ________________ 2006р.

Голова методичної ради проф. В.В. Костін

Кременчук 2006

Зміст

1. Мета лабораторної роботи з теми “Нелінійне програмування. Квадратичне програмування ”	4
2. Зміст теоретичних положень з теми “Нелінійне програмування. Квадратичне програмування ”	5
2.1Нелінійне програмування	5
2.2 Квадратичне програмування	7
3.Завдання для самостійної роботи та розв’язок типового завдання	9
3.1 Завдання	9
3.2 Розв’язок типового завдання	11
4 Список літератури	14

1. Мета лабораторної роботи по темі “Нелінійне програмування. Квадратичне програмування ”

Метою даної лабораторної роботи є розв’язання задачі квадратичного програмування на основі ознайомлення з основними теоретичними положеннями за даною тематикою.

Для виконання лабораторної роботи студент повинен знати:

• мету і зміст заданої роботи, порядок її виконання;

• основні теоретичні положення з тематики “Нелінійне програмування. Квадратичне програмування ”;

• алгоритм розв’язання задачі;

Студент повинен уміти:

• користуватися пакетом MS Excel;

• будувати область допустимих розв’язків на графіці;

• згорнути квадратичну форму до рівняння кола.

Студент повинен підготувати:

• алгоритм виконання лабораторної роботи з використанням таблиць Excel.

2 Зміст теоретичних положень з теми “Нелінійне програмування. Квадратичне програмування ”

2.1 Нелінійне програмування

Загальне завдання нелінійного програмування

Часто зустрічаються завдання математичного програмування, коли або функція мети, або обмеження нелінійні. Такого типу завдання називаються завданнями нелінійного програмування.

Загальний вигляд цих завдань:

, (2.1)

(2.2)

- без обмеження.

Причому, хоча б одна з функцій - нелінійна.

Приклад 2.1

Складність розв’язання задач нелінійного програмування.

1. Область допустимих рішень, що задається обмеженнями (2.2) може бути не опукла.

2. Мінімум або максимум функції мети може досягатися не в крайніх точках, а всередині області допустимих розв’язків.

Тому немає загальних методів розв’язання задач нелінійного програмування.

Далі розглядатиметься розв’язання задач опуклого програмування.

Опуклі функції

Функція - опукла, якщо виконується

(2.3)

Рис2.1 Геометрическая ілюстрація опуклої функції

Функція опукла на відрізку, якщо для будь-якої внутрішньої точки цього відрізка, виконуватиметься нерівність (2.3), тобто точки графіка функції f лежатимуть вище за точки відрізка, що сполучає точки кінців графіка.

Для того, того щоб область допустимих рішень була опукла, необхідно щоб кожна нерівність (2.2) задавала опуклу область, а це можливо тільки у разі опуклості функції qi.

i=1,.,m (2.4)

Множина опукла, якщо воно містить відрізок, що сполучає дві будь-які його точки.

Покажемо, що множина, яка задається нерівністю (2.4), випукле.

Не хай

i=1,...m (2.5) тобто точки х1 і х2 належать області допустимих рішень, (О.Д.Р.)

Покажемо, що і точка = теж належить О.Д.Р.

Через опуклість виконується (2.6)

,i=1...m (2.6)

Тоді, враховуючи (2.5), отримаємо

i=1,...m (2.7)

Таким чином, одержали, що і точка = належить О.Д.Р., то є якщо функції qi опуклі, то область допустимих рішень опукла, як перетин опуклої безлічі, заданих кожним обмеженням.

Під час розв’язання задач опуклого програмування використовується Куна — Таккера. Не хай дане завдання нелінійного програмування: I знайти максимальне значення функції

при обмеженнях

(2.8)

Складемо функцію Лагранжа для даного завдання:

(2.9)

Якщо виконується умова регулярності, існує принаймні одна точка X, для якої (для всіх i) l, то має місце наступна теорема.

Теорема. Вектор тоді й тільки тоді є - оптимальним розв’язком задачі (2.8), коли існує такий вектор , що при і для всіх і .

.

Точка називається сідлової точкою для функції , а теорема називається теоремою про сідловой точку.