Приемы обработки и анализа рядов динамики.

При анализе рядов динамики иногда возникает необходимость смыкания рядов, т.е. объединение двух или более рядов, характеризующих изменение явления, в один ряд. Смыкание необходимо в случаях, когда уровни ряда несопоставимы в связи с территориальными или ведомственными, организационными изменениями, изменением методологии исчисления и т.п. Существует несколько способов приведения рядов динамики к сопоставимому виду. Например, имеются данные, характеризующие общий объем продукции промышленности в одном из регионов (в фактически действовавших ценах), млн. руб.:

Годы	Уровни продукции промышленности:
	В старых границах региона	В новых границах региона
1991	20,1	-
1992	20,7	-
1993	21,0	-
1994	21,2	23,8
1995	-	24,6
1996	-	25,5
1997	-	27,2

Для приведения ряда динамики к сопоставимому виду для 1994 г. определим коэффициент соотношения уровней двух рядов:

Умножая на этот коэффициент уровни первого ряда, получаем их сопоставимость с уровнями второго ряда, млн. руб.:

1991 г. – 20,1*1,12 = 22,5;

1992 г. – 20,7*1,12 = 23,2;

1993 г. – 21,0*1,12 = 23,5.

Получен сопоставимый ряд динамики общего объема продукции промышленности (в фактически действовавших ценах, в структуре и методологии соответствующих лет) в одном из регионов (в новых границах, млн. руб.):

Годы	1991	1992	1993	1994	1995	1996	1997
	22,5	23,2	23,5	23,8	24,6	25,5	27,2

Другой способ смыкания рядов динамики заключается в том, что уровни года, в котором произошли изменения (в нашем примере уровни 1994 г.), как до изменений, так и после изменений (для нашего примера в старых и новых границах, т.е. 21,2 и 23,8) принимаются за 100%, а остальные пересчитываются в процентах по отношению к этим уровням соответственно (в нашем примере до измерений – по отношению к 21,2, а после изменений – по отношению к 23,8). В результате получается сомкнутый ряд.

Применив этот способ для нашего примера, получим следующий ряд динамики, характеризующий общий объем продукции региона:

Годы	1991	1992	1993	1994	1995	1996	1997
Общий объем продукции в новых границах региона, (% к 1994 г.)	94,8	97,6	99,1	100,0	103,4	107,2	114,3

Выявление основной тенденции ряда динамики.

Важной задачей статистики при анализе рядов динамики является определение основной тенденции развития.

При изучении в рядах динамики основной тенденции развития явления применяются следующие приемы и методы. Одним из приемов выявления основной тенденции является метод укрупнения интервалов. Этот способ основан на укрупнении периодов времени, к которым относятся уровни ряда. Например, ряд ежесуточного выпуска продукции заменяется рядом месячного выпуска продукции и т.д.

Другой прием – метод скользящей средней. Суть метода состоит в замене абсолютных данных средними арифметическими за определенные периоды. Расчет средних ведется способом скольжения, т.е. постепенным исключением из принятого периода скольжения первого уровня и включением следующего.

Наиболее эффективным способом выявления основной тенденции развития является аналитическое выравнивание.

Под аналитическим выравниванием понимают определение основной проявляющейся во времени тенденции развития изучаемого явления. Развитие предстает перед исследователем как бы в зависимости только от течения времени.

В итоге выравнивания временного ряда получают наиболее общий, суммарный, проявляющийся во времени результат действия всех причинных факторов. Отклонение конкретных уровней ряда от уровней, соответствующих общей тенденции, объясняют действием факторов, проявляющихся случайно или циклически. В результате приходят к трендовой модели

У_t = f­(t) + _t.

где f­(t) - уровень, определяемый тенденцией развития;

_t - случайное и циклическое отклонение от тенденции.

Целью аналитического выравнивания динамического ряда является определение аналитической или графической зависимости f­(t) . На практике по имеющемуся временному ряду задают вид и находят параметры функции ­ f­(t), а затем анализируют поведение отклонений от тенденции. Функцию ­ f­(t) выбирают таким образом, чтобы она давала содержательное объяснение изучаемого процесса.

Аналитическое выравнивание может быть осуществлено по любому рациональному многочлену. Выбор функции производится на основе анализа характера закономерностей динамики данного явления.

Чаще всего при выравнивании используются следующие зависимости:

• линейная ­) f­(t) = а₀ + а­₁t

• параболическая f­(t) = а₀ + а­₁t+ а­₂t²­,

• экспоненциальные ­ f­(t) = ехр (а₀ + а­₁t )

• или ­ f­(t) = ехр(а₀ + а­₁t+ а­₂t²­)

Оценка параметров (а₀,а­₁,а­₂­,....)осуществляется следующими методами:

1) методом избранных точек,

2) методом наименьших расстояний,

3) методом наименьших квадратов (МНК).

В большинстве расчетов используют метод наименьших квадратов, который обеспечивает наименьшую сумму квадратов отклонений фактических уровней от выравненных:

Для линейной зависимости f­(t) = а₀ + а­₁t параметр а₀, обычно интерпретации не имеет, но иногда его рассматривают как обобщенный начальный уровень ряда; а₁ - сила связи, т. е. параметр, показывающий, насколько изменится результат при изменении времени на единицу. Таким образом, а­ можно представить как постоянный теоретический абсолютный прирост.

Построив уравнение регрессии, проводят оценку его надежности. Это делается посредством критерия Фишера (F). Фактический уровень (Fфакт­) сравнивается с теоретическим (табличным) значением:

(n-k)*_факт²

Fфакт ­=---------------------,

(k-1)*_ост²

где k - число параметров функции, описывающей тенденцию; n - число уровней ряда;

_ост²=

_факт²= _y² -_ост² = ,

_y² = = _факт²+ _ост²

F_факт сравнивается с F_теор (по таблицам) при v₁ = (k - 1 ), v₂ = (n - k) степенях свободы и уровне значимости  (обычно  = 0,05). Если ­ Fфакт > Fтеор, то уравнение регрессии значимо, т. е. построенная модель адекватна фактической временной тенденции.

Для аппроксимации процесса изменения во времени используют несколько моделей, а наилучшую пригодность проверяют на основе принципа минимизации квадратов отклонений фактических и выравненных (теоретических) значений динамического ряда. Также критерием выбора модели является средняя ошибка аппроксимации

Рассмотрим применение метода аналитического выравнивания по прямой для выражения основной тенденции на следующем примере.

Все эти характеристики имеют один и тот же смысл: показывают как близко аналитическая функция выравнивания огибает все значения исходного ряда.

В табл. приведены исходные и расчетные данные о динамике производства молока в регионе за 1993 – 1997 гг.

Таблица 3: Исходные и расчетные данные для определения параметров системы уравнения

Годы	Млн.т	t		ty		Y-	(Y- )2
1993	13,3	-2	4	-26,6	13,02	0,28	0,08
1994	13,5	-1	1	-13,5	13,94	-0,44	0,19
1995	14,8	0	0	0	14,86	-0,0	0,00
1996	16,1	1	1	16,1	15,78	-0,32	0,10
1997	16,6	2	4	33,2	16,70	-0,1	0,01
Итого	74,3	-	10	9,2	74,30	-	0,38

Для выравнивания ряда динамики по прямой используем уравнение

Способ наименьших квадратов дает систему двух нормальных уравнений для нахождения параметров и :

где y – исходный уровень ряда динамики;

n - число членов ряда ;

t – показатель времени, который обозначается порядковыми номерами, начиная с низшего. Например:

Годы 1993 1994 1995 1996 1997

t 1 2 3 4 5

Решение системы уравнений позволяет получить выражения для параметров и :

откуда: представляет собой средний уровень ряда динамики ( );

.

Расчет необходимых значений дан в табл.3. По итоговым данным определяем параметры уравнения:

;

.

В результате получаем следующее уравнение основной тенденции производства молока в регионе за 1993-1997 гг.:

.

Подставляя в уравнение принятое обозначение t, вычислим выровненные уровни ряда динамики:

1993 г. -

1994 г. - и т.д.

По окончании расчета основной тенденции целесообразно построить график, на котором следует изобразить исходные данные и теоретические значения уровней ряда.

Однако, если число уровней ряда четное, то условное обозначение показателя времени принимает следующий вид:

Годы 1992 1993 1994 1995 1996 1997

t -5 -3 -1 +1 +3 +5

Основная тенденция (тренд) показывает, как воздействуют систематические факторы на уровень ряда динамики, а колеблемость уровней около тренда служит мерой воздействия остаточных факторов. Ее можно измерить по формуле

- среднее квадратическое отклонение.

Используя данные этого примера, рассчитаем показатель колеблемости производства молока в регионе (таблица 3):

млн. т.

Относительной мерой колеблемости является коэффициент вариации, который вычисляется по формуле

.

В нашем примере , или 1,85%.

При анализе рядов динамики значение имеет выявление сезонных колебаний. Этим колебаниям свойственны более или менее устойчивые изменения уровней ряда по внутригодовым периодам: месяцам, кварталам. Для выявления сезонных колебаний используются специальные показатели – индексы сезонности (I_s).

Для ряда внутригодовой динамики, в которой основная тенденция роста незначительна (или она не наблюдается совсем), изучение сезонности основано на методе постоянной средней: являющейся средней из всех рассматриваемых уровней. Самый простой способ заключается в следующем: для каждого года рассчитывается средний уровень, а затем с ним сопоставляются (в процентах) уровень каждого месяца. Это процентное отношение обычно именуется индексом сезонности:

Рассмотрим таблицу: Таблица 4: Численность рабочих фирм по месяцам

Месяцы	Численность рабочих,чел.
Январь	620
Февраль	640
Март	710
Апрель	730
Май	880
Июнь	920
Июль	990
Август	980
Сентябрь	970
Октябрь	870
Ноябрь	740
Декабрь	630
Итого	9680

В приведенном примере средний уровень ряда составляет:

человек.

Индекс сезонности составляет для января ; Для февраля и т.д.

Во многих случаях моделирование рядов динамики с помощью полиномов или экспонециальной функции не дает удовлетворительных результатов, так как в рядах динамики содержатся заметные периодические колебания вокруг общей тенденции, В таких случаях используют гармонический анализ.

Целью данного анализа являются выявление и измерение периодических колебаний в рядах динамики. Функцию, заданную в каждой точке изучаемого интервала времени, представляют бесконечным рядом синусоидальных и косинусоидальных функций.

Гармонический анализ представляет собой операцию по выражению заданной периодической функции в виде ряда Фурье по гармоникам разных порядков. Каждый член ряда представляет собой слагаемое постоянной величины с функциями синусов и косинусов определенного периода.

Аппроксимация динамики экономических явлений рядом Фурье состоит в выборе таких гармонических колебаний, наложение которых друг на друга (сумма) отражало бы периодические колебания фактических уровней динамического ряда. С помощью рядов Фурье представляют динамику явлений в виде некоторой функции во времени, в которой слагаемые расположены по убыванию периодов:

Параметры уравнений рассчитываются методом наименьших квадратов:

На графиках представлены возможные варианты зависимостей результативного признака Y от факторного Х, где Х – фактор времени