§5. Постановка задачи плоско-напряжённого состояния в полярных координатах в пластической области.
Рассмотрим условие пластичности Треска в полярных координатах.
(k=const) (1.5.11)
Подставляя в (1.5.11) разложения (1.5.8), приравнивая члены при одинаковых степенях δ, получим
,
,
(n≥1), (1.5.12)
здесь
при m≥1.
При
будем
иметь
.
(1.5.13)
Отметим, что в общем случае
≠2k;
в самом деле, если положить
=2k,
то из уравнения равновесия для
осесимметричной задачи
сразу следует, что
=2k
, |
|≤2k.
Остальные приближения примут вид
(1.5.14)
Для первого приближения из (1.5.9) и (1.5.13) следует
(1.5.15)
Из (1.5.14) и (1.5.15) следует, что
(1.5.16)
где Θ(θ), F(θ) – произвольные функции, точка означает производную по θ.
Уравнения для определения перемещений в пластической области записываются с помощью соотношений Коши и ассоциированного закона течения:
(1.5.17)
(1.5.18)
Уравнения, определяющие перемещения в пластической области после линеаризации примут вид
(1.5.19)
,
(1.5.20)
здесь
Рассмотрим однородную систему уравнений для компоненты перемещений
(1.5.21)
Очевидно, что
.
Положим
Из второго уравнения (1.5.21) следует
откуда
при n≥1 (1.5.22)
Следовательно,
(1.5.23)
Исходя из (1.5.23), могут быть определены компоненты деформации
(1.5.24)
Определение последующих приближений сводиться к решению задачи неоднородных уравнения (1.5.21) с известной правой частью.
§6. Осесимметричное напряжённое состояние
Для осесимметричного напряжённого состояния условие пластичности в цилиндрической системе координат принимает вид:
,
.
(1.6.1)
Подставляя в (1.6.1) разложение компонент
напряжений и полагая
,
найдём
,
,
.
;
;
(1.6.2)
Из (1.6.2) следует
.
(1.6.3)
Для осесимметричной задачи уравнения равновесия имеют вид:
,
.
(1.6..4)
Первому уравнению (1.6.4) удовлетворим, полагая
,
.
(1.6.5)
Из (1.6.5) и второго уравнения (1.6.4) получим
.
(1.6.6)
Решение однородного уравнения (1.6.6) будем искать в виде
.
(1.6.7)
Из (1.6.6) и (1.6.7) следует
,
откуда
,
(1.6.8)
где
− функции Бесселя и Неймана нулевого
порядка.
Согласно (1.6.5) и (1.6.8) можно получить выражение компонент напряжений
=n
(1.6.9)
Определим также полиноминальные решения однородного уравнения (1.6.6):
,
,
,
,
,
.
(1.6.10)
А также
,
,
,
,
,
(1.6.11)
При интегрировании линеаризованных соотношений, определяющих деформированное состояние, будем исходить из уравнений
,
.
(1.6.12)
Второму уравнению (1.6.12) удовлетворим, полагая
,
.
(1.6.13)
Из (1.6.13) и первого уравнения (1.6.12) получим
.
(1.6.14)
Уравнения (1.6.14) и (1.6.6) совпадают между
собой и решение для
имеет вид
,
(
).
(1.6.15)
Окончательно, следуя (1.6.13), получаем перемещения и деформации в пластической области:
,
(1.6.16)
Определение последующих приближений может быть сведена к решению неоднородного уравнения (1.6.14) с известной правой частью.