§2. Плоская задача механики деформируемого твердого тела

Если решение задачи сводится к определению 2-х переменных в некоторой плоской области, то такая задача называется плоской.

В МСС существуют 2 типа плоских задач:

1. плоско-деформированное состояние,

2. плоско-напряженное состояние.

Рассмотрим длинное призматическое тело, упирающееся торцами в абсолютно гладкие и абсолютно жесткие плиты. К телу приложены массовые и поверхностные силы, вектор которых лежит в плоскости торца. Силы равномерно распределены вдоль оси тела.

Высказанные гипотезы дают возможность предположить, что перемещения в декартовой системе координат x,y имеют следующий характер u(х,у),v(x,y), w=0. Отсюда следует, что поперечные сечения остаются плоскими и при деформировании имеет место

(1.2.1)

Плоское напряжённое состояние реализуется в тонких пластинах, ограниченных цилиндрической поверхностью. К пластине приложены усилия, вектор которых параллелен плоскости пластины и которые равномерно распределены по толщине пластины. В этом случае

. (1.2.2)

В обоих случаях плоской задачи математическая постановка сводится к следующим соотношениям:

, (1.2.3)

а) закон Гука в упругой области

; ; , (1.2.4)

для плоской деформации в качестве констант Е и принимаются приведённые константы [3].

В пластической зоне закон Гука принимается для упругих составляющих деформаций,

б) в пластической зоне условие пластичности

(1.2.5)

и ассоциированного закона пластического течения для пластических компонент деформаций

(1.2.6)

в) соотношения Коши для полных деформаций

(1.2.7)

Представим решение в виде разложения по малому параметру

, , . (1.2.8)

Очевидно, ввиду линейности уравнений (1.2.3) и (1.2.4) они сохраняют свой вид и для каждого члена разложения, поэтому для каждого члена разложения получаем решение с помощью функции напряжений Эри:

. (1.2.9)

Для функции Эри в упругой области справедливо бигармоническое уравнение:

(1.2.10)

§3. Линеаризация граничных условий и условий сопряжения

Рассмотрим граничных условия в напряжениях. Для плоской задачи условия задаются на контуре в плоскости двух переменных . На границе заданы нормальные усилия и касательные

, на . (1.3.1)

Для определенности рассмотрим полярные координаты . Уравнение границы представим в виде

, . (1.3.2)

Подставим в (1.3.1) разложение (1.3.2) и учитывая, что компоненты , могут быть так же представлены в виде ряда получим при

,

. (1.3.3)

Ограничиваясь третьим приближением, из (1.3.3) получим при имеет место

(1.3.4)

(1.3.5)

(1.3.6)

Совершенно аналогично записываются линеаризированные граничные условия для , заменив в предыдущих соотношениях на и на .

Если контур границы не совпадает с окружностью , то необходимо учесть угол нормали к контуру при записи нормальных и касательных напряжений на заданном контуре через компоненты напряжений в полярной системе координат

(1.3.7)

Рис. 3.1 К определению угла между нормалью к контуру и радиальным направлением.

Если уравнение границы записать в виде , то

(1.3.8)

где точка наверху означает дифференцирование по .

Уравнение границы запишем в виде :

(1.3.9)

Учитывая, что

(,) (1.3.10)

(п)Подставив (1.3.7) и (1.3.8) в (1.3.10), получим

(1.3.11)

После представления и рядом по , получим

(1.3.12)

Следующие приближения получаются аналогично.

Условия сопряжения решений на упруго-пластичекой границе.

Пусть, - граница между упругой и пластической областями. Решения в упругой и пластической областях должны удовлетворять условиям непрерывности на границе :

(1.3.13)

Запишем уравнение контура в виде

(1.3.14)

Применяя те же приёмы сноса условий (13) на исходную границу что и в граничных условиях, получим:

(1.3.15)

Условия сопряжения для остальных компонент напряжений имеют вид, аналогичный (1.3.15).

Приведём условия сопряжения для компонент перемещений.

(1.3.16)

Условия сопряжения для остальных компонент перемещений имеют вид, аналогичный (1.3.16).

Граничные условия в перемещениях на части границы (назовём её ) выписываются по тому же алгоритму, что и для напряжений на границе : сначала уравнение границы представим в виде (1.3.14), подставляя это разложение в (1.3.16), получим разложения аналогичные (1.3.12) для при .