Введение
Одной из наиболее сложных задач в разделе математической теории пластичности является неодномерная упруговязкопластическая задача. Сложность ее состоит в том, что граница между областью, которая перешла в пластическое состояние, и областью, деформирующейся упруго, заранее неизвестна, и ее нужно определять в ходе решения задачи, уравнения же в упругой и пластической областях принадлежат к разным типам.
Пластические свойства материалов проявляются весьма разнообразно в зависимости от условий работы, типа нагрузок, структуры материала и т.д.
Постановка задачи. Метод возмущений
1.1 Определяющие соотношения, граничные условия, условия сопряжения теории evp тела
Рассмотрим упруговязкопластическое тело [2], механическая модель которого показана на рис. 1.1.
Рис 1.1 Модель упругопластического тела.
Индексы e, e1, p и v обозначают соответственно упругий, пластический и вязкий механизмы. Данная модель ведет себя как анизотропно упрочняющаяся упругопластическая среда. В отличие от известных (тело Бингама, вязкопластическая среда Ильюшина и др.) наиболее полно учитывает свойства реальных тел. Действительно, с неограниченным ростом жесткости внутреннего упругого элемента и сколь угодно малом коэффициенте сцепления механизма сухого трения связь между элементами e1 и v становится жесткой и имеет место модель вязкопластического тела Бингама.
Приведем основные соотношения, которые используются при описании напряженно-деформированного состояния упруговязкопластического тела в рамках теории течения [2].
Уравнения равновесия в напряжениях
,
(1.1.1)
где
− компоненты
тензора напряжений,
− ковариантная
производная по
– ой координате.
Соотношения, связывающие полные, упругие и пластические деформации
,
(1.1.2)
где
− компоненты
тензора деформаций,
− компоненты
тензора упругих деформаций,
− компоненты
тензора пластических деформаций.
Соотношения закона Гука, связывающие напряжения и упругие деформации,
,
(1.1.3)
где
− компоненты
девиатора тензора напряжений,
− модуль
сдвига.
Уравнение поверхности нагружения
,
(1.1.4)
,
где
− коэффициент
упрочнения,
− коэффициент
вязкости,
− компоненты
тензора скоростей пластических
деформаций,
− предел
текучести,
− время.
Очевидно, если
и
,
то поверхность нагружения изотропно
расширяясь, одновременно перемещается
в пространстве напряжений, так как имеет
место пластическое деформирование
материала с изотропным и кинематическим
упрочнением.
Соотношения ассоциированного закона пластического течения
,
(1.1.5)
где
− скалярный положительный множитель.
Соотношения Коши, связывающие компоненты тензора деформаций
и вектора перемещений
.
(1.1.6)
Граничные условия в напряжениях
,
(1.1.7)
на
части поверхности, где заданы усилия
(
− компоненты
вектора нормали), и граничные условия
для перемещений
,
(1.1.8)
на
части поверхности, где известны
перемещения
.
Условия непрерывности вектора напряжений и перемещений на упругопластической границе
.
(1.1.9)
Здесь и далее квадратные скобки обозначают разность значений выражений, заключенных в скобки, соответствующих упругой и пластической областям.
По индексам, повторяющимся два раза, предполагается суммирование от 1 до 3, если не оговорено противное. Нижний индекс, стоящий после запятой, указывает на дифференцирование по координате, соответствующей этому индексу.
Уравнения (1.1.1)-(1.1.9) при учете условия несжимаемости
(1.1.10)
представляют систему уравнений, описывающих напряженно-деформированное состояние упрочняющегося упруговязкопластического тела.
Так как в дальнейшем будем исследовать классы задач в основном в цилиндрической и сферической системах координат, то приведем вид уравнений равновесия (1.1.1) и формул Коши (1.1.6) в этих системах координат.
Уравнения равновесия имеют вид:
в цилиндрической системе координат (
)
,
,
(1.1.11)
;
в сферической системе координат (
)
,
,
(1.1.12)
.
Формулы Коши:
в цилиндрической системе координат
,
,
,
(1.1.13)
;
в сферической системе координат
,
,
, (1.1.14)
.