Если же число вычислений значений функций f(X) заранее жестко

задано и равно n, то процесс на этом заканчивается.В качестве решения задачи можно принять пару x*_n,f(x*_n), при этом (x*_n,x_n) max{b_n-x*_n ,x*_n-a_n}=( -1)(b _n -a _n)/2=( ( -1)/2)ⁿ(b-a )=A _n.

С помощью дихотомии за n=2k вычислений значений функций мы получили точку x*_n с погрешностью

(x* _n ,X* ) ≤ 2^–n/2(b-a- ) < 2^-n/2 (b-a)=B _n.

Отсюда имеем A _n /B _n=2 (  +1))ⁿ=(0.87) ⁿ.

Очевидно,что уже при небольших n (числе итераций) преимущество золотого сечения перед дихотомией становится ощутимым.

Порядок выполнения лабораторной работы и варианты задания такие же, как в методе дихотомии.

П.3.Метод фибоначчи.

Можно показать,что для решения задачи одномерной минимизации оптимальным является метод Фибоначчи основанный на использованиизнаменитых чисел Фибоначчи. При достаточно большом количестве итераций окончательный интервал [a _n ,b _n ] интервал неопределенности в мет оде золотого сечения лишь на 17% больше, чем в методе Фибоначчи, однако организация вычислительного процесса значительно проще.

Числа Фибоначчи определяются соотношениями

F ₁=1; F₂=2; F_n+2=F_n+1 + F _n,n=1,2,3,....

Метод Фибоначчи относится к классу симметричных методов и определяется заданием на отрезке [a,b] точки x₁=a+(b-a)F _n /F_n+2 или симметричной ей точки x₂=a+b-x₁=a+(b-a)F_n+1/F_n+2. Описанные выше методы допускают естественное обобщение.Начальное разбиение определяется точками

x₁=a + (1- )(b-a), x₂=a + (b-a).

1. Для метода дихотомии =1/2 + /(b-a)2.

2. Для метода золотого сечения =(  -1)/2=0.618033989....

3. Для метода Фибоначчи =F_n+1/F_n+2,1- =F _n / F_n+2.

Утверждение1.Количество необходимых при решении задачи минимизации вычислений значений унимодальной функции,гарантирующих достижение точности, равно числу n, удовлетворяющему неравенствам (b-a)/F_n+2 <=ε <=(b-a)/F_n+1. 

Порядок выполнения лабораторной работы и варианты задания такие же,как в методе дихотомии.

П.4. Метод сканирования.

Пусть функция y=f(x) является унимодальной на некотором промежутке. Предположим,что произвольная точка x₀ этого промежутка является исходной для поиска точки x* локального минимума и число  -заданная точность нахождения х*. Обозначим через h произвольное приращение аргумента х и, сделав один шаг от точки x₀,получим новое значение аргумента х₁=x₀+h.

Сравним значения функции у₀=f(x₀) и у₁=f(х₁)=f(x₀+h). Возможны три различных продолжения в приближении к точке х*.

1. у₁< у₀– произошло уменьшение значения функции. Тогда примем в качестве нового стартового значения x₀⁽¹⁾₌х₁ и сделаем шаг h от этой точки x₀⁽¹⁾ к точке х₁⁽¹⁾_,т.е. х₁⁽¹⁾₌x₀⁽¹⁾ +h. Если окажется у₁ ⁽¹⁾ <у₀⁽¹⁾_,то снова сделаем шаг h от новой стартовой точки х₀⁽²⁾₌x₁⁽¹⁾ и т.д. На некотором к-ом шаге произойдет увеличение значения функции, т.е. у₁ ^(k) <у₀^(k), и если при этом h<, то принимаем х*x₀^(k) с погрешностью h. В противном случае полагаем,что точка x₀**==x^(k) является исходной для продолжения вычислений по следующей схеме 2.

2. у₁> у₀ – значение функции возрастло. В этом случае полагаем, что начальной точкой вычислений является точка x₀**=x₁,меньшим шагом в продолжении счета – величина

h*=-h/к, где к- некоторое целое положительное число, к 2. Далее производим вычисления по схеме 1. или 2., вплоть до достижения заданной точности.

3. у₁=у₀. В этом практически маловероятном случае естественно либо принять x*=(x₀+х₁)/2 при достижении заданной точности h либо следовать схеме 2.

Поиск минимума функции одной переменной указанным методом представляет собой колебательный процесс, совершающийся около точки х* локального минимума функции f(х) с непрерывно уменьшающейся амплитудой.

Описанный метод поиска локального минимума называют методом сканирования. Порядок выполнения лабораторной работы и варианты задания такие же, как в методе дихотомии.

Пример. Найти точку х* локального минимума функции f(x)=2x²-lnx методом сканирования с точностью =0.1, полагая х₀=0.25; h=0.2 и K=4.

Решение. Последовательность вычислений представим в виде пар координат , где i=0;1, а верхний индекс k является номером очередного шага сканирования. Имеем:

h=0.2>=0.1;

х₀=0.25; х₁=х₀+h=0.45; ; ;

;

Здесь при вычислениях с шагом от точки =0.65 до точки =0.5 происходило уменьшение значений целевой функции, а в точки =0.45 значение функции возросло. Следовательно, можно принять минимальное значение функции достигается в точке x*= =0.5 c погрешностью 0.05.