6.1. Характеристика линейных систем ожидания или очередей

Имеются три части линейных систем ожидания.

1. Прибытие. Вход системы характеризуется следующими параметрами:

• Размер источника прибытия. Число прибытий в любой момент времени мало относительно общего числа прибытий, которое неограниченно или ограниченно.

• Образец прибытия в систему: либо по известному расписанию, либо случайно.

В теории очередей часто используют распределение вероятностей Пуассона:

- вероятность прибытия, где

х – число прибытий в единицу времени,

а – среднее количество прибытий,

е – основание натурального логарифма, 2.7183.

a = 2, x = 0 с вероятностью 13 %,

х = 1 с вероятностью 27 %,

х = 2 с вероятностью 27 %,

х = 3 с вероятностью 18 %.

• Поведение прибытий. Терпеливое ожидание в очереди или нет.

2. Характеристика очереди. Длина очереди ограничена или нет. Дисциплина очереди – первый пришел – первый ушел (первый обслужен), либо наоборот: последний пришел – первый обслужен.

3. Характеристика узла обслуживания. Конфигурация: одноканальная система очереди, многоканальная (в банках и др.); однофазная система обслуживания (один человек обслуживается по всем вопросам), многофазная (по всем вопросам к разным исполнителям).

Модель времени обслуживания. Время обслуживания постоянное или случайное. Наиболее часто используется экспоненциальное отрицательное распределение:

Возможно использование нормального закона распределения и др.

6.2. Разнообразие моделей очередей

	Наиме-нование	Пример	Число каналов	Число фаз	Распре-деление прибытия	Распред. времени обслу-живания	Размеры источ-ника	Дисци-плина очере-ди
A	Простая	Окно кассы в банке	Однокана-льная	Одна	Пуассона	Экспонен-циальное	Неогра-ниченное	FIFO
B	Многока-нальная	Окна продаж авиабилетов	Многока-нальная	- // -	- // -	- // -	- // -	- // -
C	С постоян. временем обслужив.	Мойка автомашин	Однока-нальная	- // -	- // -	Постоян-ное	- // -	- // -
D	С огранич. размером источника	Участок пр-ва с нескольк. станками, которым необходим ремонт	Однока-нальная	- // -	- // -	Экспоненциальное	Ограниченное	- // -

Модель А. Прибытия независимы. Среднее время обслуживания меньше среднего времени между прибытиями.

l – число прибытий за период (принятую единицу времени);

m – число обслуживаемых за принятую единицу времени;

L_S – среднее число клиентов в системе = l /(m-l);

W_S – среднее время, проводимое клиентом в системе

(ожидание + обслуживание) = 1(период времени) / (m-l);

L_q – среднее число клиентов в очереди = l² / m(m-l);

W_q – время ожидания (среднее) = l / m(m-l);

r – коэффициент использования системы = l / m;

P₀ – вероятность 0 клиентов в системе = 1 – l/m;

P_{n > k} – вероятность нахождения более чем k клиентов в системе = .

Пример 1. Мастерская по ремонту одной из систем автомобиля способная обслуживать три автомобиля в час (20 минут на 1 автомобиль), т. е. m =3, l=2. Тогда L_S = 2(3-2)=2, W_S = 1 / (3-2)=1 (час), L_q = 4/3=1,33, W_q = 2/3=40 мин., r = 2/3 =0,666, т. е. 66,6 % времени мастер занят обслуживанием автомобилей.

Р₀ = 1- 2/3 = 1/3, 0,33 – вероятность того, что в системе нет автомобилей.

P_{n > 0} = 0.666; P_{n > 3} = 0.198; P_{n > 7} = 0.039.

Модель В. М – число каналов, тогда

;

; а = L_s - 1/m,

; .

Система не превращается в одноканальную с производительностью в М раз большую, чем в одноканальной системе.

Пример 2. Продолжение примера 1.

Р₀ = 0,5 при М = 2 (2 мастера), L_S = 0,75 – число автомобилей в системе, W_S = 22.5 мин. – ожидание и ремонт, L_q = 0.083 – среднее число автомобилей в очереди, W_q = 2,5 мин. автомобиль проводит в очереди. Ясно, что существенно уменьшается время обслуживания.

Модель С. Постоянное время обслуживания.

L_q= l²/ 2m(m-l) – длина очереди;

W_q=l/ 2m(m-l) – ожидание в очереди;

L_S = L_q + l/m – число клиентов в системе;

W_S = W_q+ l/m – время, проводимое в системе.

Модель D. Ограниченный источник потенциальных клиентов (обслуживание единиц техники).

Обозначения:

F – коэффициент эффективности;

D – вероятность того, что обслуживаемая единица будет ожидать в очереди;

Н – среднее число единиц, находящихся в процессе обслуживания;

J – среднее число работающих единиц техники, N-n;

N – число потенциальных клиентов (машин, аппаратуры);

n – среднее число единиц техники, находящихся в очереди и ремонте;

L – среднее число единиц, ожидающих обслуживания;

М – число каналов обслуживания;

Т – среднее время обслуживания;

U – среднее время между поступлениями на обслуживание, т.е. среднее время эксплуатации станка между двумя очередными наладками;

W – среднее время ожидания в очереди;

Х – сервисный показатель, коэффициент обслуживания или доля необходимого времени обслуживания в продолжительности одного цикла пребывания в системе массового обслуживания.

X = T / (T + U); L = N (1 – F) – число ожидающих;

W = L (T + U)/(N – L) –LT/H = T (1 – F)/ XF, n = L +H;

J = NF (1 – X), H = FNX/ N = J + L +H,

F = (T + U)/ (T + U + W).

Р₀ – вероятность того, что в системе нет обслуживаемых клиентов (единиц техники).

; P_n= ;

F – коэффициент эффективности ожидания в очереди.

Расчеты ведутся с помощью специальных таблиц параметров конечной генеральной совокупности.

29