25. Плотность распределения непрерывной двум. Св, св-ва

Плотность вероятности непрерывной двумерной случ. величины (X, У) наз-тся вторая смешанная частная производная ее ф-и распределения, т.е. φ(х,у)=Fxy’’(x,y). Геометрически φ(х,у) есть поверхность распр-я в пространстве Oxyz. Св-ва плотности: 1) φ(х,у)≥0. 2) Вер-сть попадания непрерывной двумерной величины (X, Y) в область D =: P[(X,Y) D]=∫∫ φ(х,у)dxdy. Геометрически изображается объемом цилиндра, ограниченного сверху поверхностью φ(х,у) и опирающегося на область D. 3) F(x,y)=∫∫ φ(х,у)dxdy (интегралы от -∞ и до х, у соответсвенно). 4) ∫∫φ(х,у)dxdy=1 (интегралы от -∞ до +∞).

26. Двум. Св, равномерно распределенная в прямоугольнике

Результат испытания может характеризоваться не одной случ. величиной, а системой случ. величин Х1, Х2,...,Хn, котор называют многомерной (n-мерной) случ. величиной или случ. вектором Х = (Х1, Х2,...,Хn). Многомерная случ. величина есть ф-я элементарных соб-й ω: (X1, X2…Xn)=f(ω). Случ. величины Х1, Х2,...,Хn, входящие в систему, могут быть дискретными или непрерывными. . Двумерная случ. величина (X,Y) наз-тся непрерывной, если ее F(x,y) - непрерывная ф-я, дифференцируемая по каждому из аргументов, и существует вторая смешанная производная Fху’’(x,y).

27. Условные законы распределения

Условный з-н распредел-я одной из одномерных составляющих двумерной случ. величины (X,Y) - ее з-н распред-я, вычисленный при условии, что др. составляющая приняла определенное значение (или попала в какой-то интервал). Для дискретных случ. величин: Pj(xi)=pij\p(Y=yj), Pi(yj)=pij\P(X=xi). Для непрерывных: φy(x)=φ(x,y)\φ2(y); φx(y)=φ(x,y)\φ1(x). Теорема умножения плотностей распред-й: φ(x,y)= φ1(x)*φx(y)= φ2(у)*φy(x).

Условное М и D:

1)ДСВ: M(Y|X=xi)= M(Y|xi)= Σ yj P(Y=yj| X=xi)

D(Y|xi)= Σ(yj – M[Y|X=xi])² p(Y=yj|X=xi) = Σyj²P(Y=yi|X=xi) – M²(Y|xi)

2)НСВ: M(Y|X=x)= ∫_-∞^+∞yf(y|x)dy

D(Y|x)= ∫_-∞^+∞ (y-M[Y|x])² f(y|x)dy=∫_-∞^+∞ y² f(y|x)dy-M²[Y|x]

28. Зависимые, независимые св

Случ. велич X и Y наз-тся независимыми, если их совместная ф-я распр-я F(x,y) представляется в виде произведения ф-й р-й F1(x) и F2(y) этих случ величин, т.е. F(x,y)=F1(x)*F2(y). При невыполнении равенства, Х и Y наз-тся зависимыми. Дифференцируя дважды равенство по аргументам х и у, получим φ(х,у)=φ1(х)*φ2(у). А по теор умножения плотностей φ(x,y)= φ1(x)*φx(y)= φ2(у)*φy(x). Получается φy(x)= φ1(x), φx(y)= φ2(у), т.е. условные плотности= безусловным. Зависимость между двумя случ. велич. наз-тся вероятностной (статистической), если каждому значению одной из них соответствует условное распр-е другой.

29. Числовые характеристики двумерной св

Числовые хар-ки: M(X)=∫∫x φ(x,y)dxdy (M(Y) аналогично), D(X)=∫∫(x-M(X))^2 dxdy (для D(Y) аналогично, все интегралы считать от - ∞ до +∞).

f(t)=p(t) – плотн вер-ти.

M(x)= ∫_-∞^+∞ x p(x)dx (предпол, что интегр сход)

D(x)= ∫_-∞^+∞(x-M)² p(x)dx = ∫_-∞^+∞ x² p(x)dx - M² (мат ожид квадрата отклон)

Задана непрерывная случайная величина х своей функцией распределения f(x).