7. Формула полной вероятности

H₁, H₂….H_n – гипотеза. P(A)=P(H₁)*P(A/ H₁) + P(H₂)*P(A/ H₂) +…+ P(H_n)*P(A/ H_n). P(H₁) + P(H₂) +…+ P(H_n) = 1

H₁ + H₂ +H₃= Ω( достоверное событие). Эти гипотезы образуют полную группу. H₁,H₂ …H_n – образуют полную группу, тогда справедлива формула: P(A)= ∑ P(H₁)P(A/ H₁). – смысл полной вероятности. Теорема о полной ф-ле вероятности. Если соб-е F может произойти только при условии появления одного из событий А1, A2,..., An, образующих полную группу, то вер-сть соб-я F = сумме произведений вер-стей каждого из этих событий на соответствующие условные вер-сти соб. F: .

Док-во: По условию события А1, А2…Аn образуют полную группу, т.е. они единственно возможные и несовместные. Т.к. соб. А1, А2…Аn – единствен возможные, то соб. F по усл-ю теоремы может произойти только вместе с одним из соб.: F=FA1+FA2+…+FAn. Т.к. соб. А1, А2…Аn несовместны, можно применить теор. сложения вероятностей: P(F)=P(FA1)+P(FA2)+…+P(FAn)=сумма от 1 до n (P(FAi)). По теореме умножения Р(FAi)=P(Ai)*P_Ai(F).

8. Формула Байеса

Следствием теор. умножения и ф-лы полной вероятности явл-ся ф-ла Байеса. Она применяется, когда соб. F, которое может появиться только с одной из гипотез A1,A2,...,An образующих полную группу событий, произошло и необходимо произвести количественную переоценку полученных вероятностей этих гипотез Р(А1), Р(А2)…Р(An), т.е надо найти условные вер-сти гипотез P_F(A1), P_F(A2)…Док-во: Запишем теор умножения в 2х формах: P(FAi)=P(F)*P_F(Ai)=P(Ai)*P_Ai(F), из 2х последних выражаем P_F(Ai), а затем в знаменатель подставляем значение P(F) из ф-лы полной вер-сти. Получаем ф-лу Байеса. Значение ф-лы Байеса - при наступлении соб. F, т.е. по мере получения новой информации, мы можем проверять и корректировать выдвинутые до испытания гипотезы.

А – произошло. P( H_n/A)= – по формуле полной вероятности. P(H₁/A)= ?, P(H₂/A)= ?, P(H₃/A)= ? – неизвестны.

P(A/H₁)= P(A)* P(H₁/A)= P(H₁)* P(A/H₁).

P(H₁/A)= =

Формула Байеса. P(H_j/A)=

9. Последовательность независимых испытаний. Формула Бернулли

Рассмотрим случай многократного повторения одного и того же испытания или случайного эксперимента. Результат каждого испытания будем считать не зависящим от того, какой результат наступил в предыдущих испытаниях. В качестве результатов или элементарных исходов каждого отдельного испытания будем различать лишь две возможности: 1) появление некоторого события А; 2) появление события A, (события, являющегося дополнением А). Пусть вероятность P(A) появления события А постоянна и равна p (0<.p<1). Вероятность P(A) события A обозначим через q: P(A) = 1- p=q. Так как испытания независимы, то вероятность P каждого такого результата

определяется путем перемножения вероятностей событий A и A в соответствующих испытаниях. P_n(k)= C_n^Kp^kq^n-k= n!/k!(n-k)! *p^kq^n-k – вероятность наступления события А ровно N-раз в n-испытаний, если вероятность наступления события в одном испытании равна p. q=1-p, n,k – небольшие числа.

Если вероятность р наступления соб. А в каждом испытании постоянна, то вероятность Рm,n того, что соб. А наступит m раз в n независимых испытаниях, равна , q=1-p.

ИСПЫТАНИЕ БЕРНУЛЛИ. Наивероятнейшее число появления событий А. А→p, q = 1-p. n- испытаний. 0≤K≤n.

np-q≤m≤np+p