34. Понятие о збч. Сходимость по вер-сти и распределению
З-н больших чисел – раздел теор вер-сти, в кот изуч-ся факторы, влияющие на измерение чисел →∞. Это ряд строгих матем.теорем, каждая из которых при тех или иных условиях устанавливают факт приближения средних характеристик СВ к некоторым неопределенным постоянным. ЗБЧ(предельные теоремы): 1. Поведение средних характеристик СВ при многократном появлении опыта. 2. Теоремы, которые определяют характер СВ.
1. сходимость по вероятности: Последовательность СВ {хn(w)} сходится по вероятности СВ х(w) и обозначается lim хn(w)= х(w)
хn(w)→ х(w). Если для любого Е> 0, lim P((хn(w))<E)=1
2. сходимость по распределению: {хn(w)}, хn(w)→х сходится, если lim Fn(x)=f(x), где Fn – функция распределения СВ, х(w) – функция распределения СВ(Х).
35. Неравенство Маркова, Чебышева
Нер-во Маркова.
Если X≥0 и имеет мат ожидание, то для любого А>0 верно неравенство: Р(x>A)≤ M(X)\A. Док-во: Расположим дискретн сл вел Х в порядке возрастания. Пусть есть А>0, Xk<A<X(k+1). M(X)=p1x1+p2x2+…+pkxk+…+pnxn. Где р1, р2…рn – вер-сти, что Х примет значения соответственно х1, х2…хn. Отбрасим первые k неотрицательных слагаемых. P(k+1)*X(k+1)+PnXn<M(X). Заменим Xk+1…Xn меньшим числом А, вынесем за скобки: А(Pk+1+…+Pn)<M(X), разделим на А, а то что в скобках = Р(x>A). Получим нер-во Маркова.
Нер-во Чебышева.
Для любой случ вел, имеющей мат ожидание и дисперсию, справедливо нер-во Чебышева: P(|X-M(X)|>ε)≤D(X)\ ε^2, где ε>0.
36. Теорема Чебышева
Если дисперсии n независимых случ вел Х1, X2,..., Хn ограничены одной и той же постоянной, то при n→∞ средняя арифметическая случ вел-н сходится по вер-сти к средней
арифметической их мат ожиданий а1, а2,...,аn, т.е.:
37. Теорема Бернулли
Частость соб-я в n повторных независимых испытаниях, в каждом из котор оно может произойти с одной и той же вер-стью р, при n→∞, сходится по вер-сти к вер-сти р этого соб-я в отдельном испытании: lim P(|m\n-p|≤ε)=1. Смысл теор Бернулли - при большом числе n повторных независимых испытаний практически достоверно, что частость соб-я m\n — величина случайная, как угодно мало отличается от неслучайной велич р – вер-сти соб-я, т.е. практически перестает быть случайной.
P=m/n –классическая вероятность
P=limm/n – стат.вероятность
38. Центральная предельная теорема( Ляпунова)
Центральная предельная теор. представляет собой группу теорем, посвященных установлению условий, при которых возникает нормальный з-н р-я. Среди этих теорем важнейшее место принадлежит теор Ляпунова.
39. Генеральная совокупность, выборка. Способы организации выборки, требования к выборке
Ген. совокупность в мат.статистике – множество элементов любой природы, отобранных изучению по одному(нескольким) признакам. При втором способе мн-во случайным образом отобранных объектов наз. выб. сов-тью или выборкой. Все мн-во объектов, из которого производится выборка, наз. ген. сов-тью. Число объектов в выборке называется объемом выборки. Обычно будем считать, что объем генеральной совокупности бесконечен. Выборки разделяются на повторные с( возвращением) и бесповторные (без возвращения). Выборка должна достаточно полно отражать особенности всех объектов генеральной совокупности, иначе говоря, выборка должна быть репрезентативной (представительной). Способы организации: собственно-случайная: метод жеребьевки, механическая: когда невозможно заранее составить список единиц, типическая: разбивается на группы генеральной совокупности, серийная, комбинированная, многоступенчатая, многофазная. В практике статистических наблюдений различают 2 вида наблюдений: сплошное, когда изучаются все объекты совокупности, и несплошное, выборочное, когда изучается часть объектов. Вся подлежащая изучению совокупность объектов - ген.совокупность. Та часть объектов, которая отобрана для изучения из генеральной совокупности - выборка. Сущность выб.метода состоит в том, чтобы по выборке можно выносить суждение о свойствах в целом. Чтобы по данным выборки иметь возможность судить о ген. совок-сти, она должна быть отобрана случайно. Выборка называется репрезентативной (представительной), если она достаточно хорошо воспроизводит ген. совок-сть. Задача выборочного метода является оценка параметров ген совок-сти по данным выборки.