МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ, СТАТИСТИКИ И ИНФОРМАТИКИ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ В ЭКОНОМИКЕ

Москва 2006

УДК 519.6

ББК 22.19

М 327

Данное пособие подготовлено преподавателями кафедры “Исследование операций” Н.Ю.Грызиной, И.Н. Мастяевой, О.Н.Семенихиной. Математические методы исследования операций в экономике: Учебное пособие / Московский государственный университет экономики, статистики и информатики. М.: МЭСИ, 2006.

Учебное пособие

© Н.Ю.Грызина, И.Н. Мастяева, О.Н. Семенихина.

2006

© Московский Государственный Университет Экономики,

Статистики и Информатики, 2006

Оглавление

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ 1

ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ В ЭКОНОМИКЕ 1

1. Введение в исследование операций 6

1.1. ЭТАПЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ 6

2. Элементы линейной алгебры 27

2.1. АЛГЕБРА МАТРИЦ 27

2.1.1. ВИДЫ МАТРИЦ 27

2.1.2. ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ 28

2.2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ 35

2.3. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 42

2.3.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ 42

2.3.2. ФОРМУЛЫ КРАМЕРА И МЕТОД ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ 42

2.3.3. МЕТОД ЖОРДАНА-ГАУССА 46

2.4. ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО 52

2.4.1. n-МЕРНЫЙ ВЕКТОР И ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО 52

2.4.2. РАЗМЕРНОСТЬ И БАЗИС ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА 52

2.5. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ С ПОМОЩЬЮ MS EXCEL 56

3. Линейное программирование 66

3.1. ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 66

3.1.1. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 66

3.1.2. ОСНОВНАЯ ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 68

3.1.3. КАНОНИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 68

3.2. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗЛП 69

3.3. АНАЛИЗ РЕШЕНИЯ (МОДЕЛИ) НА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ 76

3.4. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЕЙ СИМПЛЕКС-МЕТОДОМ. 93

3.4. ДВОЙСТВЕННЫЙ СИМПЛЕКС-МЕТОД (Р-МЕТОД) 113

3.5. РЕШЕНИЕ ЗЛП ДВУХЭТАПНЫМ СИМПЛЕКС-МЕТОДОМ 125

3.6. РЕШЕНИЕ ЗЛП С ПОМОЩЬЮ MS EXCEL 133

4. Теория двойственности в линейном программировании 143

4.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЭКОНОМИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ДВОЙСТВЕННОЙ ЗЛП 143

4.2. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ДВОЙСТВЕННОСТИ 149

4.3. АНАЛИЗ РЕШЕНИЯ ЗЛП С ПОМОЩЬЮ ТЕОРИИ ДВОЙСТВЕННОСТИ 156

4.4. АНАЛИЗ РЕШЕНИЯ ЗЛП НА ОСНОВЕ ОТЧЁТОВ MS EXCEL 165

Вариант 1 169

Вариант 2 170

Вариант 6 172

Вариант 7 173

Вариант 8 173

Вариант 9 174

Вариант 10 175

5. Целочисленные модели исследования операций 181

5.1. МЕТОД ВЕТВЕЙ И ГРАНИЦ РЕШЕНИЯ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО 182

ПРОГРАММИРОВАНИЯ (ЦЗЛП) 182

5.2. ЗАДАЧА КОММИВОЯЖЕРА 197

6. Экономические задачи, сводящиеся к транспортной модели 219

6.1.ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 219

6.2.ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ, СВОДЯЩИЕСЯ К ТРАНСПОРТНОЙ МОДЕЛИ 248

6.3.ЗАДАЧА О НАЗНАЧЕНИЯХ 261

Основная литература 276

Дополнительная литература. 276

1. Введение в исследование операций

Исследование операций — научная дисциплина, занимающаяся разработкой и практическим применением методов наиболее эффективного управления различными организационными системами.

Другими словами, исследование операций - научное направление, целевая установка которого - разработка методов анализа целенаправленных действий (операций) и объективная (в частности, количественная) сравнительная оценка решения.

Операция — любое управляемое мероприятие, направленное на достижение цели. Результат операции зависит от способа её проведения, организации, иначе — от выбора некоторых параметров. Всякий определённый выбор параметров называется решением.

Оптимальными считают те решения, которые по тем или иным соображениям предпочтительнее других. Поэтому основной задачей исследования операций является предварительное количественное обоснование оптимальных решений.

Эффективность операции —количественно выражается в виде критерия эффективности — целевой функции.

Для применения количественных методов исследования требуется построить математическую модель операции.

Экономико-математическая модель — достаточно точное описание исследуемого экономического процесса или объекта с помощью математического аппарата (различного рода функций, уравнений, систем уравнений и неравенств и т.п.).