Графический способ решения злп.

Геометрическая интерпретация экономических задач дает возможность наглядно представить, их структуру, выявить особенности и открывает пути исследования бо­лее сложных свойств. ЗЛП с двумя переменными всегда можно решить графически. Однако уже в трехмерном пространстве такое решение усложняется, а в простран­ствах, размерность которых больше трех, графическое решение, вообще говоря, невозможно. Случай двух переменных не имеет особого практиче­ского значения, однако его рассмотрение проясняет свой­ства ОЗЛП, приводит к идее ее решения, делает геомет­рически наглядными способы решения и пути их практи­ческой реализации.

Пусть дана задача

(1)

(2)

(3)

Дадим геометрическую интерпретацию элементов этой задачи. Каждое из ограничений (2), (3) задает на плоскости некоторую полуплоскость. Полу­плоскость — выпуклое множество. Но пересечение любого числа выпуклых множеств является выпуклым множест­вом. Отсюда следует, что область допустимых решений задачи (1) — (3) есть выпуклое множество.

Перейдем к геометрической интерпретации целевой функции. Пусть область допустимых решений ЗЛП — не­пустое множество, например многоугольник .

Выберем произвольное значение целевой функ­ции . Получим . Это уравнение пря­мой линии. В точках прямой NМ целевая функция сохра­няет одно и то же постоянное значение . Считая в ра­венстве (11) параметром, получим уравнение семей­ства параллельных прямых, называемых линиями уровня целевой функции (линиями постоянного значения).

Найдём частные производные целевой функции по и

(4)

(5)

Частная производная (4) ((5)) функции пока­зывает скорость ее возрастания вдоль данной оси. Следо­вательно, и — скорости возрастания соответст­венно вдоль осей и . Вектор называ­ется градиентом функции. Он показывает направление наискорейшего возрастания целевой функции:

Вектор — указывает направление наискорейшего убывания целевой функции. Его называют антигра­диентом.

Вектор перпендикулярен к прямым семейства

Из геометрической интерпретации элементов ЗЛП вы­текает следующий порядок ее графического решения.

6. С учетом системы ограничений строим область до­пустимых решений

7. Строим вектор наискорейшего возра­стания целевой функции — вектор градиентного направ­ления.

8. Проводим произвольную линию уровня

9. При решении задачи на максимум перемещаем ли­нию уровня в направлении вектора так, чтобы она касалась области допустимых решений в ее крайнем по­ложении (крайней точке). В случае решения задачи на минимум линию уровня перемещают в антиградиентном направлении

10. Определяем оптимальный план и экстре­мальное значение целевой функции .

Определение оптимального плана выпуска изделий. Рассмотрим на конкретном примере метод графического решения задачи линейного программирования. Фирма выпускает 2 вида мороженого: сливочное и шоколадное. Для изготовления мороженого используются два исходных продукта: молоко и наполнители, расходы которых на 1 кг мороженого и суточные запасы исходных продуктов даны в таблице.

Исходный продукт	Расход исходных продуктов на 1 кг мороженого			Запас, кг
	Сливочное		Шоколадное
Молоко	0,8	0,5		400
Наполнители	0,4	0,8		365

Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на сливочное мороженое превышает спрос на шоколадное не более чем на 100 кг. Кроме того, установлено, что спрос на шоколадное мороженое не превышает 350 кг в сутки. Отпускная цена 1 кг сливочного мороженого 16 ден. ед., шоколадного — 14 ден. ед. Определить количество мороженого каждого вида, которое должна производить фирма, чтобы доход от реализации продукции был максимальным.

Решение.

Обозначим: xt — суточный объем выпуска сливочного мороженого, кг, х2 — суточный объем выпуска шоколадного мороженого, кг. Составим математическую модель задачи.

Целевая функция будет иметь вид

L(x) = 16x1 + 14x2 _→ max

п ри ограничениях

0,8х1 +0,5x2 < 400 (ограничение по молоку), (14.5)

0,4х1 +0,8x2 < 365 (ограничение по наполнителям), (14.6)

Х1 -х2 < 100 (рыночное ограничение по спросу), (14.7)

х2 < 350 (рыночное ограничение по спросу), (14.8)

х1≥ 0, х2≥ 0.

Укажем область допустимых (неотрицательных) решений; на

рис. 14.1 показаны ограничивающие линии, соответствующие равен-

ствам в соотношениях (14.5)—(14.8); стрелки указывают области, ко-

торые они ограничивают.

0ABDEF— область допустимых решений. Строим вектор С (16, 14). Линия уровня Lo определяется уравнением (она показана штрихом)

6x1 + 14х2 = const.

Перемещаем линию уровня по направлению вектора С. Точкой выхода 10 из области допустимых решений является точка D, ее координаты определяются как пересечение прямых, заданных ограничениями

Решая эту систему, получим координаты точки D (312,5; 300), которая является оптимальным решением, т. е.

при этом

Итак, максимальный доход от реализации составит 9200 ден. ед. в сутки при выпуске 312,5 кг сливочного и 300 кг шоколадного мороженого.

Экономический анализ задач

Проведем экономический анализ рассмотренной ранее задачи о производстве мороженого.Определим, как влияет на оптимальное решение увеличение или уменьшение запасов исходных продуктов. Для анализа задачи примем, что неравенства системы ограничений могут быть активными или пассивными. Если прямая проходит через точку, в которой находится оптимальное решение, то будем считать, что она представляет

активное ограничение. В противном случае прямая относится к пассивному ограничению.

Если ограничение активное, то будем считать, что соответствующий ресурс является дефицитным, так как он используется полностью. Если ограничение пассивное, то ресурс недефицитный и имеется в фирме в избытке. Рассмотрим увеличение ресурса правой части ограничения (14.5) по молоку (рис. 14.6). При перемещении параллельно самой себе прямой (14.5) вправо до пересечения с прямыми (14.6) и (14.7) в точке М ограничение (14.5) будет оставаться активным. Точку М определим как точку пересечения прямых (14.6) и (14.7):

откуда определяем точку М (370,83; 270,83). Подставляя координаты точки М в неравенство (14.5), получим предельно допустимый суточный запас молока:

при этом величина дохода составит

Рассмотрим увеличение ограничения по наполнителям (рис. 14.7).При перемещении параллельно самой себе прямой (14.6) вправо до пересечения с прямыми (14.5) и (14.8) в точке N ограничение (14.6) будет оставаться активным. Точку N определим как точку пересечения прямых:

откуда определяются координаты точки JV (281,25; 350).

Предельно допустимый суточный запас наполнителей можно увеличивать до значения

при этом величина дохода составит

Рассмотрим возможность изменений правой части пассивных ограничений (14.7) и (14.8). Не изменяя оптимальное решение (рис. 14.8), прямую (14.7) можно перемещать параллельно самой себе вверх до пересечения с точкой D (312,5; 300), т. е. правую часть ограничения (14.7) можно уменьшать до величины 312,5 - 300 = 12,5 кг. Прямую (14.7) можно также перемещать параллельно самой себе вниз до пересечения с осью 0Х, в точке Р (500; 0), т. е. правую часть ограничения (14.8) можно увеличивать до 500 кг.

Таким образом, при неизменном оптимальном решении разница в покупательском спросе между сливочным и шоколадным мороженым может изменяться в диапазоне от 12,5 до 500 кг. Аналогично, не изменяя оптимальное решение (рис. 14.5), прямую (14.8) можно перемещать параллельно самой себе вверх до пересечения с осью 0Х2 в точке R (0; 56,25) или вниз до пересечения с прямой(14.6) в точке D (312,5; 300).

2. а) Структу́рное программи́рование — методология разработки программного обеспечения, в основе которой лежит представление программы в виде иерархической структуры блоков.

Структурное программирование - методология и технология разработки программных комплексов, основанная на принципах:

- программирования "сверху-вниз";

- модульного программирования.

Основным принципом модульного программирования является принцип «разделяй и властвуй». Модульное программирование – это организация программы как совокупности небольших независимых блоков, называемых модулями, структура и поведение которых подчиняются определенным правилам.

Использование модульного программирования позволяет упростить тестирование программы и обнаружение ошибок. Аппаратно-зависимые подзадачи могут быть строго отделены от других подзадач, что улучшает мобильность создаваемых программ.

Участок программы, к которому можно обращаться из различных мест программы для выполнения некоторых действий называется подпрограммой.

В случае нисходящего (сверху вниз) метода вы начинаете созидательный процесс с программы высокого уровня и спускаетесь до подпрограмм низкого уровня. Восходящий (снизу вверх) метод работает в обратном направлении: вы начинаете с отдельных специальных подпрограмм, постепенно строите на их основе более сложные конструкции и заканчиваете самым верхним уровнем программы. Специальный подход не имеет заранее установленного метода.

3. Временна́я це́нность де́нег (ВЦД) или стоимость денег во времени (СДВ), стоимость денег с учетом фактора времени (СДУФВ), теория временной стоимости денег, дисконтированная существующая ценность — концепция, на которой основано предположение о том, что деньги должны приносить процент - ценность сегодняшних денег выше, чем ценность той же суммы, получаемой в будущем.

Временна́я це́нность де́нег — одно из фундаментальных понятий финансов. Временна́я ценность денег основана на предпосылке, что каждый предпочтёт получить определенную сумму денег сегодня, чем то же самое количество в будущем, если все остальное одинаково. В результате, когда каждый вносит деньги на счёт в банк, каждый требует (и зарабатывает) проценты. Деньги, полученные сегодня, более ценны, чем деньги, полученные в будущем количеством процентов, который деньги могут заработать. Если 90 сегодняшних рублей через год увеличатся до 100 рублей, то эти 100 рублей, подлежащие выплате через год, сегодня стоят 90 рублей.

«Золотое» правило бизнеса гласит: Сумма, полученная сегодня, больше той же суммы, полученной завтра.

Согласно принципу временно́й ценности денег, сегодняшние поступления ценнее будущих. Отсюда вытекает, по крайней мере, два важных следствия:

• необходимость учёта фактора времени при проведении финансовых операций;

• некорректность (с точки зрения анализа долгосрочных финансовых операций) суммирования денежных величин, относящихся к разным периодам времени.

Под процентом в финансово-кредитных расчетах понимают абсолютную величину дохода от предоставления денег в долг на определённое время.

Размер процентной ставки это отношение суммы процентов за определённый период времени к величине ссуды.

Время, за которое начисляются проценты, называется периодом начисления.

Процесс сложения процентов и суммы долга называется наращением первоначальной суммы.

Виды процентных ставок зависят от способов начисления процентов. Различают:

1) простые и сложные,

2) дискретные и непрерывные,

3) номинальные и эффективные,

4) фиксированные, плавающие и учётные процентные ставки.

Процентные ставки называются простыми, если они применяются за весь период начисления к одной и той же первоначальной сумме долга. Сложные ставки применяются к сумме долга с наращёнными процентными и в результате наращенная сумма будет выше, чем при применении простых %-ных станок.

Если проценты начисляются (капитализируются) один или несколько раз в год, то ставки называются дискретными, при непрерывном начислении процентов (число раз начисления процентов в год стремится к бесконечности) - непрерывными.

Если число раз начисления процентов в год больше единицы, то ставки называются номинальными. Чаще всего номинальные ставки применяются при высоком уровне инфляции, а проценты начисляются два раза в год, ежеквартально или ежемесячно. Поквартальное начисление процентов применяется также, как правило, при начислении процентов по некоторым видам государственных ценных бумаг и корпоративных облигаций. Эффективные ставки эквивалентны номинальным и показывают каким должен быть размер годовой %-ной ставки, чтобы клиент получил ту же сумму, что и при начислении процентов несколько раз в год.

Ставки называются фиксированными, если они не меняются в течение всего срока сделки и плавающими, если предусматривается изменение их величины.

Учетные ставки позволяют определить сегодняшнюю стоимость векселей и применяются при учёте этих ценных бумаг Центральным банком России или коммерческими банками.

Билет 7 1.а) Случайной называется величина, которая в результате испытания может принять то или иное возможное значение, неизвестное заранее, но обязательно одно.      Пример. В студенческой группе 25 человек. Пусть величина Х – число студентов, находящихся в аудитории перед началом занятий. Ее возможными значениями будут числа 0, 1, 2,…,25.      При каждом испытании (начало занятий) величина Х обязательно примет одно из своих возможных значений, т.е. наступит одно из событий Х = 0, Х = 1, …, Х = 25.      Пример. Измерение курса акции некоторого предприятия. Возможные события заключаются в том, что стоимость акции Y примет некоторое значение в пределах от 0 до ∞.      Пример. Однократное бросание игральной кости. Возможные события заключаются в том, что на верхней грани выпадает Z: 1, 2, 3, 4, 5, 6.      Пример. Подбрасывается монета n раз. Возможные результаты: герб выпал 0, 1, 2, …, n раз.      Различают дискретные и непрерывные случайные величины.      Если множество возможных значений случайной величины конечно или образуют бесконечную числовую последовательность, то такая случайная величина называется дискретной (примеры 3.1, 3.3, 3.4).      Случайная величина, множество значений которой заполняет сплошь некоторый числовой промежуток, называется непрерывной (пример 3.2). Заметим, что дискретные и непрерывные величины не исчерпывают все типы случайных величин.      Если случайная величина не относится ни к дискретным, ни к непрерывным случайным величинам, то ее называют смешанной.      Очевидно, что для полной характеристики дискретной случайной величины мало знать ее значения. Необходимо им поставить в соответствие вероятности.      Соответствие между всеми возможными значениями дискретной случайной величины и их вероятностями называется законом распределения данной случайной величины.      Простейшая формой задания закона распределения дискретной случайной величины является таблица, в которой перечислены возможные значения случайной величины (обычно в порядке возрастания) и соответствующие им вероятности:     

Х	х1	х2	…	хn	…
Р	р1	р2	…	рn	…

     Такая таблица называется рядом распределения. Допустим, что число возможных значений случайной величины конечно: х₁, х₂, …, х_n. При одном испытании случайная величина принимает одно и только одно постоянное значение. Поэтому события Х = х_i (i = 1, 2, … , n) образуют полную группу попарно независимых событий. Следовательно, р₁  + р₂ + …  + р_n  = 1.      Можно закон распределения изобразить и графически, откладывая на оси абсцисс возможные значения случайной величины, а на оси ординат – соответствующие вероятности. Для большей выразительности полученные точки соединяются прямолинейными отрезками. Получающая при этом фигура называется многоугольником (полигоном) распределения.