Решение систем линейных уравнений (Тема №14)

В матричном виде

Такие системы можно решить прямыми (точными) или итерационными методами. Прямые методы имеют один большой недостаток – накопление ошибки в процессе решения. Итерационные методы (последовательных приближений) лишены этого недостатка, но более сложны и длительны, могут не сходиться.

Прямые методы. Метод по правилу Крамера.

, где - определитель матрицы , - определитель матрицы , получающейся из матрицы заменой -столбца столбцом свободных членов .

Метод обратной матрицы

Решение

Обратная матрица находится как

Где - алгебраическое дополнение элемента (не ) матрицы , - определитель матрицы .

Эти методы сопровождаются большим объёмом вычислений при расчёте определителей и, как правило, неэффективны.

Метод Гаусса

Данный метод используется наиболее часто. Он состоит из двух частей – прямого и обратного хода. Прямой ход состоит в приведении исходной матрицы к треугольному виду за счёт последовательного исключения элементов .

*Пример:

Система трёх уравнений приводится к треугольному виду

где

где

Обратный ход состоит в последовательном вычислении , , .

Данная система может давать сбои если в знаменателе формул стоять числа близкие или равные нулю. Для учёта этого используется модификация метода Гаусса – метод Гаусса с выбором главного элемента. Он заключается в том, что в качестве диагонального элемента выбирается наибольший по модулю элемент из оставшейся части матрицы перестановкой строки и/или столбца.

*Пример

Решить

Итерационный метод Зейделя

Если представить исходную систему в виде: и задаться некоторыми начальными приближениями , то подставив эти приближения в правую часть уравнений, получим следующее приближения. . Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока . Метод Зейделя может несходиться. Метод может использоваться для дорешения системы уравнений большой размерности, когда метод Гаусса приводит к большим погрешностям решения.

Решение нелинейных уравнений (Тема №15)

Необходимо найти корни уравнения .

Методы решения делятся на прямые и итерационные. Прямые или аналитические методы рассматриваются в курсе математики. Итерационные методы (методы последовательных приближений) используются, когда применить прямые невозможно. Метод простой итерации требует приведения исходного уравнения к виду . Тогда задавшись некоторым начальным значением можно получить уточненное значение и так далее до тех пор, пока . Начальное значение сильно влияет на количество итераций и сходимость процесса вообще, поэтому его необходимо выбрать правильно.

Метод деления отрезка пополам (метод бисекции) – один из простейших методов нахождения корней уравнений.

Если >0, то и равны по знаку, и наоборот. Следующее . И так далее, пока или .

Метод хорд – отличается от предыдущего метода выбором точки уравнение прямой (хорды), проходящей через точки и . Это даёт более быструю сходимость.

Метод Ньютона (метод касательных).

Зададимся начальным приближением . Уравнение касательной к имеет вид . Следующее приближение . В общем виде: .

Учёт производной даёт более быструю сходимость. Можно применять комбинацию методов определяя начальное приближение одним из грубых методов, уточняя решение методом Ньютона.

Теорема:

Пусть является корнем уравнения , < , - непрерывна. Тогда существует окрестность корня такая, что если начальные приближение , то метод простой итерации сходится к .

На основании данной теоремы для гарантированного схождения итераций к решению нелинейное уравнение удобнее записывать в виде . За счёт параметра можно добиться факта сходимости и повысить скорость сходимости.