Численные методы (Тема №13)

С помощью математического моделирования решение задачи сводится к решению математической модели задачи. Для решения математических задач используются аналитические, графические и численные методы.

Аналитические методы – решение выражается с помощью формул. На практике встречается достаточно редко.

Графические методы – решение приближённо находится графическим путём. Используется для оценки существования решения, получения начального приближения, иллюстрации решения.

Численные методы – решение сводится к выполнению конечного числа арифметических действий над числами.

Достоинством данного метода является возможность нахождения решения нерешаемых задач.

К недостаткам данного метода можно отнести то, что решение получается приближённым, т.е. вносится дополнительная погрешность, а так же выполнение большого объёма операций.

Неустранимые ошибки.

Погрешность постановки задачи

Погрешность при построении математической модели

Погрешность при решении математической модели /регулируемая погрешность численных методов/

• погрешность самого численного метода

• погрешность из-за использования приближённых чисел

Компьютер оперирует целыми числами одинарной и двойной точности.

Под целые числа отводится обычно 4 байта т.е. существуют числа в диапазоне от до .

Дробные числа D представляются в нормализованном виде с плавающей точкой , где , , цифра, целое число, < < , или в общем виде где - основание системы счисления, - целые числа из диапазона .

Получается, что в компьютере множества чисел – конечные, а само число приближённое.

количество чисел множества.

Машинный ноль:

Машинная бесконечность:

Точность	Байты	Двойное k	Частичное k
одинарная	4	24	9
двойная	8	53	17

Приближённое число можно получить

1. округлением:

• число обе погрешности равны единице последнего разряда числа

2. отбрасыванием незначащих разрядов

• число абсолютная погрешность равна единице последнего разряда числа

В этом смысле числа 0,73 и 0,73000 различны первое имеет два значащих разряда, второе – пять.

Действия над приближёнными числами.

абсолютная погрешность;

Относительные погрешности , , , , .

*Пример

Пусть , . Тогда , , . В общем виде оценка абсолютной погрешности функции определяется полным дифференциалом , где … - абсолютные погрешности аргументов.

При решении задачи выполняется множество последовательных операций с числами и это должно приводить к значительному росту результирующей погрешности. Простейшей защитой от этого является использование чисел с двойной точностью (большой резерв мантиссы числа по-сравнению с погрешностью исходных данных).

*Примеры:

• округление при переводе числа в двоичный вид:

Сумма шагов не даст .

• сложение или вычитание большого числа с малым:

или при расчёте через ряд

Задача устойчива, если малое изменение аргумента приводит к малому изменению решения . Численные методы неприемлимы, некорректны в неустойчивых задачах, когда малое приводит к принципиально иному результату. Такие задачи должны решаться аналитическими или комбинированными методами. Численные методы должны применяться корректно не должны вносить существенную погрешность (должны сходиться к истинному решению) и не приводить к бессмысленным решениям.