Интегрирование функций (Тема №11)

При дифференцировании функции находится её производная .

Интегрирование – задача, обратная дифференцированию, т.е. нахождение функции по её производной . Обозначается как , .

Множество всех первообразных для называется неопределённым интегралом и обозначается .

Теорема:

всякая непрерывная на функция имеет на этом промежутке первообразную.

Определённый интеграл

Пусть функция определена на отрезке . Затем

1. разобьём на n частичных отрезков

2. в каждом частичном отрезке , выберем произвольную точку и вычислим

3. умножим на

4. составим сумму S_n всех таких произведений , - интегральная сумма функции на отрезке

5. найдём предел интегральной суммы при и .

Если найденный предел существует и равен A, не зависит ни от способа разбиения отрезка , ни от способа выбора точки c_i, то число A называется определённым интегралом от на отрезке .

, где - область интегрирования; - пределы интегрирования; - интегрируемая функция; - интерпретация через дифференциал, а - интерпретация через площадь.

Теорема Коши:

определённый интеграл существует, если функция непрерывна на отрезке .

Формула Ньютона-Лейбница:

, данная формула позволяет существенно упростить и сократить расчёты.

Свойства определённого интеграла:

, данное условие выполняется при следующем соотношении a<c<b

данная система характеризует теорему о среднем и позволяет рассчитать среднее значение функции на отрезке .

- производная от интеграла с переменным верхним пределом.

, если , , - замена переменной.

Несобственный интеграл первого рода – с бесконечным промежутком интегрирования.

Несобственный интеграл второго рода – интеграл от функции, имеющей разрыв.

Виды интегралов (Тема №12)

Двойной интеграл

Пусть заданна непрерывная функция в Замкнутой области. Разобьём на n – элементарных областей.

Площадь каждой . Диаметр каждой . В области возьмём произвольную точку , умножим на и найдём сумму , что в свою очередь является интегральной суммой в области . Если предел интегральной суммы при и не зависит ни от точки , ни от разбиения на , то он называется двойным интегралом

Аналитическое вычисление интеграла

Замена переменных

, ,

,

где - определитель Якоби

Тройной интеграл

Обобщение двойного интеграла для в замкнутой области пространства :

Криволинейный интеграл

Обобщение определённого интеграла на произвольную область интегрирования.

Криволинейный интеграл I рода. Пусть задана , непрерывная на кривой AB. Разобьём кривую AB на n-отрезков длиной точками и выберем на -отрезке произвольную точку . - интегральная сумма для по кривой AB.

- криволинейный интеграл первого рода, если предел существует и не зависит ни от способа разбиения AB, ни от выбора точек .

Вычисление интеграла:

Криволинейный интеграл II рода

Пусть задана функция , непрерывная на кривой AB. Разобьём кривую AB на n-элементарных дуг с длиной .

Составим интегральную сумму . Если при данная сумма имеет конечный предел и не зависит от выбора точек , то она называется криволинейным интегралом II рода

Криволинейный интеграл II рода, общего вида .

Свойства:

;

, при соблюдении следующего условия

Интеграл по замкнутому контуру зависит только от направления обхода и не зависит от выбора начальной точки

Вычисление:

, где , , в точке A , в точке B

Поверхностный интеграл I рода

Обобщение двойного интеграла.

M Si

Пусть существует и поверхность . - интегральная сумма для по поверхности .

Поверхностный интеграл I рода .

Интеграл существует когда поверхность гладкая (непрерывная), непрерывна по поверхности.

Вычисление сводится к двойному интегралу:

, где D₁ – проекция поверхности на плоскость XOY, а - уравнение поверхности

Возможно использование иной формы записи:

, где D₂ – проекция поверхности на плоскость XOZ, а - уравнение поверхности .

Поверхностный интеграл II рода – отличие от предыдущего интеграла заключается в том, что вместо в интегральной сумме умножается на проекцию на плоскость XOY: с учётом знака , если нормаль к образует острый угол с осью и наоборот. А следовательно интегральная сумма приобретёт следующий вид: .

Интеграл II рода: .

Общий вид поверхностного интеграла:

Вычисление поверхностного интеграла сводится к решению (вычислению) двойного интеграла.