Предел функции (тема №7)

Понятие предела функции имеет огромное значение при исследовании функции на непрерывность, а так же дифференциальном и интегральном анализе.

Определение Коши – число A называется пределом функции в точке x₀, если для любого положительного ε найдётся такое положительное число δ, что для любых x≠x_0, удовлетворяющих неравенству <δ, выполняется неравенство. <ε. Геометрический смысл предела f:

y A+ε A A-ε x-δ x0 x+δ x

Рис. 7.1

, если для любого ε существует такое число δ, что выполняются следующие неравенства:

<δ и <ε

Предел f	справа
	слева
Бесконечно большая функция
Бесконечно малая функция

Непрерывность функции (Тема №8)

Определение 1

Функция называется непрерывной в точке , если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т.е

Определение 2

Функция непрерывна, если

Точки. к которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва функции.

Род точек разрыва
Точки разрыва первого рода		Точки разрыва второго рода
		Если не существует хотя бы один односторонний предел
Точка устранимого разрыва	Точка конечного разрыва

Следствие из теоремы Больцано-Коши.

если непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри найдётся хотя бы одна точка C, такая, что

Метод «половинного деления» для нахождения корней на .

Производная функции (Тема №9)

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

Функция, имеющая производную в каждой точке интервала, называется дифференцируемой на этом интервале.

Рис.9.1

Если - процесс, то - скорость протекания процесса .

- дифференциал функции

( - главная часть приращения)

Дифференциал n-ого порядка:

Применение дифференциала для приблежённых расчётов:

Правила дифференцирования:

, если , , если ,

Формулы дифференцирования

Частные производные (Тема №10)

Если функция - функция нескольких переменных, то производная по одной из этих переменных при условии постоянства значений других переменных называется частной производной.

Рис.10.1

Частная производная, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной.

Теорема Шварца:

Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой. Например, для .

Полный дифференциал функции

Полное приращение функции равно , если имеет непрерывные частные производные, то - полный дифференциал равен сумме частных дифференциалов ( - главная часть приращения).

Производная от сложной функции

Если , где , , то ; .

Производная по направлению

Обобщение понятия производной.

Задана функция . Приращение в произвольном направлении составит . Производной по направлению называется предел

Рис.10.2