Векторы (Тема №3)

Вектор – направленный прямолинейный отрезок.

Длиной или модулем вектора называется длина отрезка AB и обозначается .

=

Вектор единичной длины – единичный вектор .

Векторы коллинеарны / компланарны, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых, если они лежат в одной плоскости или параллельных плоскостях.

Два вектора равны, если равны их модули, они сонаправлены и коллинеарны.

Сложение и вычитание векторов (графически), произведение вектора на число b – вектор, который имеет длину , коллинеарен , и имеет то же направление, что и , при условии b0, и наоборот.

Проекция вектора на ось единичного вектора равна . (рис.3.1)



рис.3.1

Разложение вектора по ортам координатных осей:

=a_x + a_{у +} a_z =

a_x= a_y= a_z= / проекции вектора по осям координат

Если координаты двух векторов равны, то и векторы равны

Если координаты двух векторов пропорциональны, то векторы коллинеарны

Сложение и вычитание векторов по координатам

Скалярное произведение векторов – введено для расчёта работы силы – число, равное произведению длин этих векторов на cos угла между ними.

= cos= a_x b_x +a_y b_y +a_z b_z

Пользуясь этой формулой, легко найти угол между векторами.

Векторное произведение – используется в механике - , который перпендикулярен и , имеет длину, равную площади параллелограмма между и .

= ,

где  угол между векторами и ; векторы , , образуют правую тройку векторов. ( Три некомпланарных вектора образуют правую тройку векторов в том случае, если смотря с конца вектора кратчайший поворот от вектора к вектору осуществляется против часовой стрелки, если по часовой, то векторы образуют левую тройку векторов). Единичные орты , , - правая тройка векторов.

=(a_y b_z – a_z b_y ) -( a_x b_z – a_z b_x ) +( a_x b_y – a_y b_x )

Смешанное произведение – число ( × ) =±v – объём параллелепипеда, образованного из векторов , и (+v – правая тройка векторов).

Векторное и смешанное произведение векторов можно использовать для определения взаимной ориентации векторов и для расчёта площадей и объёмов.

( × ) = + +

Комплексные числа (тема№4)

Комплексные числа – обобщённые числа, записываются в общем виде z = x+iy, где x и y действительные числа, а i – мнимая единица (i² = -1).

x – действительная часть числа z (x =Re z)

y – мнимая часть числа z (y = Im z)

Числа z₁ и z₂ равны, если их действительные и мнимые части соответственно равны x₁=x₂, y₁=y₂.

Числа z и называются сопряжёнными, если равных их действительные части x₁=x₂, и iy₁ = - iy₂.

Алгебраическая форма записи: z = x+iy.

Тригонометрическая форма записи: z = r(cos+isin), где = r – модуль, Argz=.

Показательная (экспоненциальная) форма: z = re^i.

Сумма чисел: z₁+ z₂ = (x₁+x₂)+i(y₁+ y₂)

Разность чисел: z₁- z₂ = (x₁-x₂)+i(y₁-y₂)

Умножение чисел: z = z₁ ·z₂ = (x₁x₂ - y₁y₂)+i(x₁y₂+x₂ y₁) = r₁r₂(cos(₁+₂)+isin(₁+₂))

zⁿ = rⁿ(cosn+isinn)

Деление чисел: z = z₁/z₂ = =

Корень из числа: = , при k=0,1,…,n-1

Корнем n^ой степени из z называется такое число , что ⁿ = z, следовательно реализуется основная теорема алгебры о том, что многочлен n^ой степени должен иметь n корней.

Хотя комплексные числа и векторы очень похожи – это не одно и то же, хотя бы в силу того, что операции умножения и деления неодинаковы. Данные объекты придуманы для решения разных задач.