Множества (Тема №1)

Множество - совокупность некоторых объектов, объединённых по какому-либо признаку.

Элементы множества - объекты, из которых состоит множество

x∈X– элемент x принадлежит множеству X.

xX или x∈X - элемент x не принадлежит множеству X

x - пустое множество, не содержит ни одного элемента

X={x₁, x₂, x₃, x₄ x x₅}- задание множества

AB множество A принадлежит множеству B, включено в него

AB или AB – объединении, сумма множеств (рис 1.1)

AB или AB – пересечение, произведение (рис1.2)

Рис 1.1	рис1.2

Числовые множества

N={1,2,3,…,n,…} множество натуральных чисел

Z={0,1, 2, 3,…, n,…} множество целых чисел

Q={^m/_n, где m∈Z, n∈N} множество рациональных чисел

R - множество действительных чисел

NZQR

Множество действительных чисел графически изображаются прямой, одно число – точкой на прямой

Матрицы (Тема №2)

A_mn- прямоугольная таблица чисел, содержащая m-строк одинаковой длинны n.

Элементы матрицы – числа а_ij. Главная диагональ матрицы – диагональ с элементами а_ii.

Матрицы A и B равны, если равны соответствующие элементы матриц A и B, т.е. а_ij= b_ij, при любых значениях i и j.

Квадратная матрица –матрица размера m m.

Диагональная матрица- матрица, в которой все элементыкроме главной диагонали равны 0 (нулю).

(E) Единичная матрица – диагональная матрица, с элементами в главной диагонали равными единице.

Треугольная матрица – матрица, в которой все элементы под/над главной диагональю равны нулю (0).

(0) Нулевая матрица – все элементы матрицы равны нулю (0).

Матрица содержащая только один столбец или строку – вектор.

(A^т) Транспонированная матрица – матрица полученная из данной заменой каждой строки столбцом того же номера. (A^т)^т= A.

Сложение/разность матриц возможно только при равенстве их размеров.

C_mn= A_mn +B_mn =(а_ij +b_ij), при i=1,2,3…; j=1,2,3…;

Произведение матрицы на число: B_mn=k A_mn=( k с).

Произведение матриц: C_mn= A_mn ×B_mn=( а_i1 ×b_1k+ а_i2 ×b_2k +а_i3 ×b_3k…), при i=1,2,3…; k=1,2,3… (рис. 2.1)

Произведение матриц возможно при равенстве количества строк одной матрицы количеству столбцов другой матрицы.

· · · · · · · · · · · · · · · · · ·

Рис. 2.1.

В общем виде A×B≠B×A, A(BC)=(AB)C, A(B+C)=AB+AC, C(A+B)=AC+BC, (A+B)^т= A^т+B^т, (A×B)^т= A^т×B^т.

Определитель квадратной матрицы A или детерминант (detA, ׀A׀ или ∆) – число. рассчитываемое следующим образом:

при n=1 A=(а₁) detA=а₁

при n=2 A= detA=а₁₁ а₂₂- а₁₂ а₂₁

при n=3 detA= а₁₁ а₂₂ а₃₃+ а₁₂ а₂₃ а₃₁+ а₂₁ а₃₂ а₁₃- а₃₁ а₂₂ а₁₃- а₂₁ а₁₂ а₃₃- а₃₂ а₂₃ а₁₁

(m_ij) Минор элемента а_ij определителя n^ого порядка – определитель (n-1) порядка, получаемый из исходного путём вычёркивания строки и столбца элемента а_ij.

(A_ij) Алгебраическое дополнение элемента а_ij – минор со знаком (+) если i+j чётное число, и наоборот. A_ij=(-1)^i+j(m_ij).

В общем случае определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие им алгебраические дополнения.

Квадратная матрица A невырожденная, если detA≠0.

Матрица A^-1 обратная матрице A, если A·A^-1=A^-1·A=E

(M) Определитель m^ого порядка матрицы, получающийся из определителя n^ого порядка матрицы A (m n), если из него вычеркнуть какие-либо (m- n) строк и столбцов, называется минором m^ого порядка матрицы.

Наибольший из порядков миноров матрицы A отличных от нуля, называется рангом матрицы A; r(A)=rangA