Статичні і стаціонарні поля.

Поле називається нестаціонарним, якщо воно змінюється з часом в кожній точці простору (це змінні електромагнітні поля).

Поле називається стаціонарним, якщо воно не змінюється в кожній точці з часом.

Статичне поле – утворюється нерухомими джерелами (електростатичне поле).

В природі існує лише єдине електромагнітне поле, окремо електричного чи магнітного поля не існує.

Розглянемо поле нерухомого заряду.

З аряд q’ рухається під дією сили Кулона: .

Сила, з якою на два точкових заряди діє їхнє загальне поле, пропорційна величині цих зарядів і обернено пропорційна квадрату відстані між ними і діє по прямій, що з’єднує ці заряди.

Тобто на кожний заряд діє поле (поле виступає як матеріальний об’єкт).

Розглянемо відношення: - напруженість електричного поля

Напруженість – це вектор сили, що діє на одиничний позитивний заряд.

Чим ближче до заряду, тим більше вектор напруженості і навпаки.

Щ об дослідити це векторне поле треба знайти div і rot (який характеризує роботу по замкненому контуру).

Будемо досліджувати rot:

Робота по замкненому контуру:

=0 <=0^o =0 <=180^o

Тобто циркуляція по замкненому контуру:

Ротор – це відношення циркуляції по замкненому контуру до величини цього контуру:

, де - оператор Набла.

Висновок: електростатичне поле безвихрове або потенційне.

Потенціал як характеристика поля

П отенціал – робота по переміщенню одиничного заряду із даної точки в нескінченність.

Це скалярне поле:

А скалярне поле характеризується градієнтом:

беремо похідну тільки по r, так як вона змінюється тільки по радіусу, а по і

не змінюється.

(1)

Оператор Лапласа:

Розглянемо другу характеристику векторного поля – div:

Знайдемо потік вектора через замкнену поверхню S’:

r=const.

Для полегшення інтегрування візьмемо сферичну поверхню радіуса r.

П отік дорівнює:

=0, бо сфера

Теорема Гауса

Потік вектора через будь-яку замкнену поверхню дорівнює повному заряду, який знаходиться в об’ємі, обмеженому цією поверхнею.

q=[Кл]

Густина заряду:

, тобто:

Згідно з теоремою Остроградського-Гауса:

Звідси маємо: - теорема Гауса в диф. формі. (2)

Векторні лінії електростатичного поля починаются і закінчуються на заряді (для зміних полей це не дійсне, тому що вони можуть бути замкнені).

Підставивши (1) в (2), отримаємо:

- рівняння Пуассона.

Тобто по заданому розподілу заряду заходимо розподіл потеціалу, а по потеціальому розподілу знаходимо (алгоритм розв’язку задач електростатики).

Р озв’язок рівняння Пуассона:

Знаходимо розподіл поля .

Якщо заряду нема, то маємо:

(або ) Рівняння Лапласа (необхідно мати крайові умови на поверхні S).