Плоска однорідна електромагнітна хвиля.

В дальній зоні обмежену частину поверхні електромагнітної хвилі (фронт) будь-якого елементарного випромінювача можна наближено вважати плоскою (і однорідною).

Тобто умова завжди виконується.

Тому знаходимо більш прості рівняння, що описують плоску електромагнітну хвилю.

Розглядаємо рівняння Максвела в області, де відсутні сторонні електричні і магнітні струми:

Це система з двох рівнянь з двома невідомими.

Зведемо її до незалежних рівнянь. Застосуємо до другого рівняння (можна і до першого), тобто беремо похідні по координатам X, Y, Z :

Враховуючи, що і підставивши з першого рівняння:

Таким чином :

Аналогично зробивши від першого рівняння отримаємо два незалежних рівняння, що описують електричне і магнітне поле:

Це два хвильових рівняння.

Тепер треба розв'язати ці рівняння для будь-якої задачі. А можна знайти розв'язок одного рівняння, а другий розв'язок записати по аналогії.

Задача: розв'язок хвильового рівняння і в Декартовій системі координат (можна в будь-якій).

Розписуємо хвильове рівняння в Декартовій системі координат:

( При  = 0 k буде = 0 і отримаємо рівняння для статики. Таким чином і - це більш загальні рівняння).

Аналогічно:

Розпишемо їх по всіх координатах:

Тобто маємо 6 рівнянь. Але розв'язувати можна якесь одне, тому в загальному вигляді маємо:

(1)

де: L - будь яка проекція або на любу вісь.

З допомогою метода розділення змінних (метод Фур'є) розв'язуємо це рівняння. Згідно з цим методом : нехай наш розв'язок L - це добуток трьох розв'язків, кожний з яких залежить тільки від своєї координати (так можна зробити для будь-якої системи координат):

(2)

X, Y, Z - це const

Підставимо (2) в (1):

Поділимо все на L :

Тобто розділили змінні, тому маємо суму констант. Назвемо ці константи так:

Другий розв'язок буде :

А = const (амплітуда), а міняється тільки фаза, тобто маємо хвилю, що біжить по координаті Х.

Аналогічно можна отримати хвилю, що біжить по координаті Y (по "+" або по "-"):

Аналогічно для Z :

Тепер L :

Для векторів і розв'язки аналогічні.

Запишемо для :

ABC - це const, яку ми назвемо

Т аким чином те, що в дужках - це скалярний добуток на :

- два розв'язки двох хвильових рівнянь. (III)

Це значить, що якщо відоме поле на початку координат , то поле в точці з координатами - це :

Ч ому дорівнює вектор . Із хвильового рівняння маємо:

(3)

- це проекції хвильового вектора на осі координат.

Рівняння (3) показує, що має напрямок по діагоналі паралелепіпеда :

 до і .

- це напрямок поширення електромагнітної плоскої однорідної хвилі (співпадає з напрямком вектора Пойнтінга).

А його модуль - це комплексне хвильове число, що характеризує :

 - фазова постійна поширення електромагнітної хвилі

 - характеризує амплітуду електромагнітної хвилі в точці з координатами x,y,z і називається постійною загасання.

Можемо сказати, що наш розв'язок - це суперпозиція хвиль, що поширюються вздовж x,y,z (це не сума).

Модуль кожної складової - це теж комплексне число:

Розпишемо це в циліндричній системі координат, тобто запишемо розв'язок рівняння по координатам z, ,  (хвилі, що біжать по координатам z, , ).

Хвиля, що біжить вздовж z = K_z .

Хвиля, що біжить по радіусу  (радіальна хвиля) = K_ .

Х виля, що біжить по колу  (азимутальна хвиля) = K_ .

Таким чином розв'язок (III) годиться для будь-якої системи координат.

В сферичній системі координат (кут, кут , радіус r) вектор буде мати радіальний вектор (радіальні хвилі - сферичні хвилі, поширюються в усі сторони), (хвилі, що біжать по куту ) і (азимутальні хвилі ).

А їх сума дасть плоску однорідну електромагнітну хвилю:

Р озглянемо поширення електромагнітних хвиль в однорідному ізотропному середовищі.

Однорідні середовища - це такі, де параметри не залежать від координат.

Ізотропне - це середовище, в якому параметри середовища не залежать від напрямку поля.

При поширенні в ізотропному середовищі амплітуда і фаза змінюються.

Розглянемо поширення вздовж осі Z :

У нас був такий розв'язок :

Для нашого частинного випадку проекції :

Тоді:

Для нашого частинного випадку :

Те ж буде і для магнітного поля :

Тоді :

Знаючи поле на початку координат (при Z = 0, це буде і ) і знаючи співвідношення

,

можемо визначити поле в кожній точці простору (залежить тільки від координати Z, а від X,Y не залежить, а значить це рівняння плоскої однорідної електромагнітної хвилі, що поширюється вздовж осі Z).

Побудуємо графіки:

Графік амплітуд :

Фаза коливань:

 - це віддаль, на якій фаза змінюється на 2.

Р озглянемо швидкість поширення електромагнітної хвилі:

Фазова швидкість - це швидкість фронту електромагнітної хвилі (фаза = const):

Розглянемо середовище, коли  = 0 :

Звідси можна знайти фазову швидкість (коли нема втрат :  = 0):

,

тобто в середовищі фазова швидкість в раз менша або більша, ніж швидкість світла в вакуумі.

В іоносфері  = 0,4  0,5 ,  = 1, тому

де : - довжина хвилі в вакуумі.

В середовищі довжина хвилі скорочується (або збільшується) в раз, ніж в вакуумі.

В середовищах, в яких  і  залежать від частоти, теж залежать від f:

Залежність від f називається дисперсією, а такі середовища (де  і  залежать від f) називається дисперсними.

Види дисперсії:

Якщо не залежить від f, то це без дисперсне середовище (вакуум):

Я кщо з ростом f, , ми маємо справу з нормальною дисперсією:

Я кщо з  f ,  ми маємо справу з аномальною дисперсією:

Хвиля існує в часі і просторі від - до + :

- миттєве значення

Р еально таких хвиль нема. Реально ми маємо справу, наприклад, з сигналом РЛС (радіолокаційна станція).

В просторі цей сигнал має вигляд електромагнітного імпульсу:

В просторі існують гармонійні складові різних частот (тобто коли сигнал складається з групи хвиль). В часі сигнал може існувати від - до +, а в залежності від координати Z наш радіосигнал обмежений.

- групова швидкість або швидкість групи хвиль.

Якщо нема дисперсії:

П ри нормальній дисперсії кожна складова переміщується зі своєю груповою швидкістю.

Д ля аномальної дисперсії форма теж спотворюється :

З авжди

Розглянемо випадок вузькосмугового сигналу:

його спектр:

М ожна показати, що для цього сигналу:

Знайдемо залежність і для вузькополосних сигналів:

Розглянемо :



Розглянемо випадки :

1. , тоді :

2. При нормальній дисперсії :

, тоді :

3) При аномальній дисперсії :

, тоді :

Тобто сигнал в просторі поширюється швидше ніж його складові (таке може бути).

Це ми розглядали, коли  = 0 ; тепер розглянемо, коли   0. Це значить, що  і  мають комплексні параметри:

Як знайти характеристики поширення електромагнітних хвиль : , ,  :

Щоб знайти  і  треба це розділити на дійсну і уявну частини і знайти :

Теж саме треба зробить для хвильового опору середовища Z. Якщо у нас є втрати, то  і  будуть комплексними:

(Розділивши на дійсну і уявну частини, знайдемо активну і реактивну частини комплексного Z)

По іншому :

Дійсна величина буде тільки у випадку, коли :

В інших випадках це уявна частина.

Запишемо дійсну і уявну частини хвильового опору середовища:

;

Намалюємо графіки розподілу напруженості і для хвилі, що поширюється в просторі вздовж координати Z :

1. Розглянемо перший випадок: нехай середовище : і (це означає, що  = 0, тобто середовище без втрат). При цьому:

Е лектричне поле знаходиться в площині ZX, магнітне - в ZY. Розглянемо якусь мить часу (t = 0) і знайдемо розподіл миттєвих значень вздовж осі Z , тобто маємо таку епюру розподілу напруженості поля (інтенсивності поля):

Таким чином хвиля з лінійною поляризацією не змінює свою лінійну поляризацію при поширені вздовж осі Z.

Магнітне поле  і синфазне електричному.

Значить фази і однакові _z = 0 (фаза хвильового опору).

На проміжку від 0 до /4 вектор Пойнтінга має напрямок вздовж осі Z. На проміжку від /4 до /2 вектори і одночасно змінюють знак, тому вектор Пойнтінга не змінює напрямку. Найбільша інтенсивність буде там, де найбільший згусток енергії поля.

Вся ця картинка біжить вздовж координати Z з фазовою швидкістю

2) Є втрати :   0, тобто

В цьому випадку амплітуда вздовж координати Z змінюється по експоненті:

Щ о буде з магнітним полем :

1. - втрати однакові ( ).

В цьому випадку і одночасно буде відбуватися перехід векторів і через координату Z - тобто обидва вектора діють синфазно. Напрямок вектора Пойнтінга не змінюється, а змінюється його значення (значення енергії) вздовж координати Z за рахунок втрат.

Можемо підрахувати значення енергії в кожній точці:

- це логарифм затухання електромагнітної хвилі (в неперах - якщо логарифм натуральний; в децибелах - якщо 20 lg).

Перехід від непера до децибела:

1 непер = 8,686 децибел

Згасання вектора Пойнтінга (для миттєвих значень):

Для комплексних амплітуд:

Таким чином відношення показує ще відношення фаз.

2 . , тобто є згасання, але воно в кожній точці різне для електричного і магнітного полів:   0.

- середнє за період значення енергії буде мати такий напрямок.

В часі і змінюються не синфазно, а з якоюсь затримкою. В просторі це приведе до того, що перехід через нуль по координаті Z відбувається в різних точках для і . Значить максимуми електричного і магнітного полів вже не збігаються в просторі.

В часі:

В ектор Пойнтінга не скрізь буде співпадати з напрямком поширення хвилі (осі Z), тобто іде згасання енергії.

Ми маємо пульсуючу енергію при поширенні хвилі в однорідному просторі з швидкістю .

Провідність електромагнітних хвиль, або гістерезіс є причиною згасання електромагнітної хвилі.

При розрахунку поширення електромагнітних хвиль в просторі використовують більш прості формули, окремо для діелектриків і окремо для провідників.

Діелектриком називаються такі матеріали, для яких

- електричний діелектрик.

Так само магнітний діелектрик:

І навпаки, для електричного провідника :

Для магнітного провідника :

Якщо прийняти такі обмеження, то ми можемо спростити складні формули для діелектриків і провідників.

Для діелектриків :

Тоді точний вираз :

(розділимо на дійсну і уявну частини) =

(коли відомо, що і ) 

- тому, що модуль мало відрізняється від дійсної частини :

- дійсна частина.

sin малих кутів  tg цих кутів.

Графік k :

Ч ому наближено дорівнює хвильовий опір:

Для провідників: , .

Але в природі магнітних провідників немає, тому для електричних провідників маємо:

 - провідність електричного провідника.

Візьмемо , тоді

Знаходимо k :

( Але  дуже велике, тоді arctg  = 90 )

- глибина проникнення електричного поля в провідник.

!!!

Через d можемо знайти всі величини:

 довжина хвилі в провіднику 

Хвильовий опір для середовища:

- тобто має дійсну і уявну частини.

d - товщина скін - шару (поверхневого шару).

Скін - ефект - це глибина проникнення у метал.

Я кщо ми маємо ідеальний діелектрик і реальний провідник, то частина хвилі пройде межу поділу, частина відіб'ється (якщо буде ідеальний провідник, то хвиля повністю відіб'ється):

Поле в середині реального провідника зменшується по експоненті.

Аналогічно для круглого провідника.

і зменшуються по експоненті.

Розглянемо межу поділу: ідеальний діелектрик - реальний провідник, і знайдемо наближені крайові умови.

А якщо    , то d  0

Крайові умови для випадку ідеального діелектрика і реального провідника (крайові умови Леонтовича):

;

Тобто бачимо, що Z комплексне.

Висновки для поширення електромагнітних хвиль в однорідному ізотропному середовищі.

1. Амплітуда  по експоненті

2. Фаза замінюється лінійно -Z.

3. Напрямок поляризації не змінюється.