
- •Рассмотрим задачу о вычислении площади криволинейного сектора.
- •Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений.
- •Площадь поверхности тела вращения.
- •Вычисление работы переменной силы
- •Определение работы, затрачиваемой на выкачивание жидкости из сосуда
- •Определение времени вытекания жидкости из сосуда
Лекция 8. Геометрические и механические приложения определенного интеграла. Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольных и полярных координатах. Вычисление объемов тел по известным площадям параллельных сечений. Вычисление поверхностей и объемов тел вращения. Вычисление длин дуг плоских и пространственных кривых. Вычисление работы переменной силы.
Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление.М.,2000.Гл.12, && 1-8.
Бугров Я.С., Никольский С.М.Высшая математика, Т.2 Дифференциальное и интегральное исчисление. М., Дрофа, 2003Гл.7, && 1-3, 5.
И.П. Натансон. Краткий курс высшей математики.,М.,Лань.2005.Гл.6
Геометрические приложения определенного интеграла
Цель сегодняшней лекции состоит не в том, чтобы привести несколько формул для решения конкретных задач, а в том, что бы научить вас использовать данный математический аппарат в решении конкретных задач. Поэтому я буду иногда пренебрегать абсолютной строгостью математического изложения, обращая больше внимания на то, каким образом в решении конкретных задач возникает определенный интеграл.
Геометрические приложения определенного интеграла
Площадь криволинейной трапеции.
Криволинейной
трапецией назовем область, ограниченную
линиями:
,
- кривая АВ,
- кривая CD.
При этом предполагаем, что
при
.
Разобьем отрезок
на
частей точками
(
).
Обозначим
,
где
- длина отрезка
.
Площадь части
криволинейной трапеции, ограниченной
линиями
обозначим
.
Тогда полная площадь всей криволинейной
трапеции S
равна
.
Оценим значение
величины
.
Для этого на отрезке
выберем произвольную точку
.
Вычислим значения функций
и
в этой точке -
.
Обозначим
.
Интуитивно понятно, что величина
при малом значении
будет не очень сильно отличаться от
площади криволинейной трапеции,
ограниченной линиями
,
то есть
.
Тогда сумма таких площадей по всем отрезкам разбиения
будет близка к площади S криволинейной трапеции, ограниченной линиями:
,
то есть
.
Понятно, что чем
мельче будут отрезки разбиения, тем
меньше будет погрешность. Теперь
попытаемся перейти немного к более
строгим рассуждениям. Полученная сумма
является
интегральной суммой для функции
на отрезке
.
Следовательно, предел этой суммы при
неограниченном уменьшении длин отрезков
разбиения равен определенному интегралу
от данной функции по отрезку
.
Таким образом
.
Замечание. Если добиваться полной строгости, то мы сначала должны решить вопрос, а что мы будем называть площадью криволинейной трапеции. Что такое площадь прямоугольника – это понятно, а вот что такое площадь произвольной фигуры, мы еще должны определить. При этом наше определение должно быть таким, что бы оно совпадало, по возможности, с нашим интуитивным понятием о площади. В некотором смысле площадью криволинейной трапеции мы и называем предел суммы , и уже потом показываем, что этот предел равен определенному интегралу.
Пример.
Найти площадь фигуры, ограниченной
линиями
,
,
.
Очевидно, что при
имеем
.
Тогда
.
Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
В этом примере значения не указаны. Попробуем нарисовать кривые. Сначала сделаем грубый рисунок. Первая кривая – это парабола, ветви которой направлены вверх, а вторая – это прямая с положительным угловым коэффициентом. Для того чтобы найти значения , мы должны определить точки пересечения кривых. Для этого решаем систему уравнений
Получаем
.
То есть
.
Теперь более точно нарисуем графики функций, хотя для решения задачи вычисления площади в этом уже необходимости нет.
Следовательно
Пример. Найти
площадь фигуры, ограниченной линиями:
Решение. Найдем точки пересечения кривых. Для этого решаем систему уравнений.
.
Получаем:
.
Схематично фигура изображена на рисунке.
Следовательно
=
.
Теперь рассмотрим
пример вычисления площади криволинейной
трапеции, ограниченной линиями
,
в
случае, когда кривая
задана не в явном виде, а параметрически
,
где
,
.
При этом предполагаем, что функции
непрерывны
на отрезке
,
а функция
монотонна и имеет непрерывную производную
на этом отрезке.
Тогда для вычисления площади имеем соотношение
.
В полученном определенном интеграле сделаем замену переменных
.
Тогда
,
.
Пределы интегрирования заменяются
соответственно:
на
;
на
.
Получаем
.
Пример. Найти
площадь фигуры, ограниченной линиями
Поскольку x
и y
неотрицательны, то параметр
изменяется
на отрезке
.
Схематично фигура изображена на рисунке.
Выражение для
площади имеет вид
.
Делая замену
переменных
,
получаем
,
.
Из условия :
получаем
;
при
получаем
.
Тогда
Воспользуемся формулами косинуса двойного угла
=
=
+
=
=
=
.
Пример. Найти
площадь эллипса
.
Эллипс с полуосями
- фигура, симметричная относительно
всех координатных осей, поэтому достаточно
найти площадь в первой координатной
четверти.
В первой четверти
зададим эллипс параметрически
Тогда значению
соответствует
,
значению
соответствует
.
Следовательно
=
.
Рассмотрим задачу о вычислении площади криволинейного сектора.
Криволинейным
сектором называется область, ограниченная
линиями, уравнения которых в полярной
системе координат (
)
имеют вид: 1)два луча
;
2)линия
.
На рисунке
(предполагается, что ось X
совпадает с полярной осью) лучу
соответствует ОА (угол AOX
равен α), лучу
соответствует ОВ (угол ВOX
равен β), линии
соответствует кривая АВ.
Разделим область
на части лучами
,
,…,
(луч
),
(луч
),…,
.
Обозначим
.
Площадь криволинейного сектора
обозначим
.
Тогда полная площадь S криволинейного сектора ВОА может быть представлена в виде .
Оценим значение
,
предполагая, что
- достаточно малая величина. Выберем
значение угла
,
где
(луч
).
Заменим криволинейный сектор
круговым сектором радиуса
,
где
.
При малом значении
есть все основания полагать, что их
площади отличаются незначительно.
Соответствующая площадь кругового
сектора радиуса
равна
.
Тогда имеем
.
Полученная сумма
является интегральной суммой для функции
на отрезке
.
Переходя к пределу, при стремлении
максимального значения
к
нулю, получаем
.
Замечание.
Пусть область ограничена линиями, уравнения которых в полярной системе координат ( ) имеют вид:
1)два луча ;
2)линии
,
где
при
.
Тогда ее площадь
вычисляется по формуле
Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линией:
Данная фигура схематично изображена на рисунке
Данный «цветок»
состоит из четырех совершенно одинаковых
«лепестков». (Напомним, что по смыслу
полярной системы координат значение
,
поэтому для
тех значений угла
,
при которых
,
точек на линии не существует). Поэтому
достаточно найти площадь одного лепестка
и умножить ее на четыре. «Первый лепесток»
ограничен лучами
и кривой
.
Следовательно
.
Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
Данная фигура схематично изображена на рисунке.
Она ограничена
кривыми BNA
и BMA
. Найдем точки пересечения кривых
.
Получаем
.
На отрезке
уравнение имеет два корня
,
.
Следовательно, в полярной системе
координат луч ОА имеет уравнение
,
луч ОВ -
,
кривая BNA
-
,
кривая BMA
-
.
Тогда
=
=
.
Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений.
Пусть имеется
некоторое тело в пространстве. Обозначим
- площади его сечений плоскостями,
перпендикулярными оси Z.
Требуется определить объем тела.
Будем предполагать,
что плоскости пересекают данное тело
при значениях z,
лежащих на отрезке [a;b].
Разобьем отрезок [a;b]
на n
частей
точками
(
=a),
,
…,
,
,…,
(
=b).
Обозначим:
,
- объем слоя толщины
,
заключенного между сечениями z=
и z=
.
Если
достаточно мало, то приближенно этот
объем можно оценить как объем цилиндра
высоты
и площади основания
,
где
,
то есть
.
Тогда полный объем V приближенно равен
.
Полученная сумма является интегральной суммой для функции Q(z) на отрезке [a;b]. Окончательная формула для объема имеет вид
Замечание.
В частности, если тело получено вращением
относительно оси X
криволинейной трапеции, ограниченной
линиями:
,
,
,
где
при
,
то площадь сечения равна Q(x)=
и объем соответственно равен
.
.
Пример. Найти
объем эллипсоида
.
Рассмотрим сечения данного эллипсоида плоскостями, перпендикулярными оси Z. Преобразуем уравнение эллипсоида
.
Следовательно,
сечением эллипсоида является эллипс с
полуосями
,
.
Как было показано ранее, площадь эллипса
с полуосями
равна
.
Следовательно, площадь сечения эллипсоида
Q(z)
выражается формулой
,
где
.
Тогда
.
Пример. Найти
объем тела, полученного вращением вокруг
оси ОХ криволинейной трапеции, ограниченной
линиями.
Решение.
.
Вычисление длин кривых.
Предположим, что
в пространстве (X,Y,Z)
параметрически задана кривая
.
Требуется определить длину дуги данной
кривой, если
значения параметра t при этом изменяются на отрезке [a;b]
(дуга АВ на рисунке).
Относительно
функций
будем
предполагать, что они являются непрерывными
и имеют непрерывные производные на
отрезке [a;b].
Разобьем отрезок
[a;b]
на n
частей
точками
(
=a),
,
…,
,
,…,
(
=b).
Обозначим:
,
- длина дуги
,
где координаты точек соответственно
равны
,
.
Если
достаточно мало, то приближенно
- длину дуги
можно заменить величиной
- длиной секущей
.
Рассмотрим вектор
=
,
где
,
,
.
Значение равно модулю вектора , то есть
.
Согласно теореме Лагранжа
,
,
,
где точки
лежат на отрезке
.
Тогда L - длина дуги АВ приближенно равна
.
Полученная сумма
не является интегральной суммой,
поскольку точки
не обязаны совпадать. Однако, поскольку
лежат на отрезке длиной
,
то можно показать, что ее предел при
стремлении к нулю максимального значения
равен пределу интегральной суммы для
функции
на отрезке [a;b]
.
Следовательно
.
С точки зрения математики вопрос о длине кривой, это не совсем простой вопрос. Фактически мы определяем длину кривой, как предел длин секущих и показываем, что этот предел равен полученному определенному интегралу.
Замечание 1. Если
кривая задана параметрически на плоскости
,
где
,
то ее длина вычисляется по аналогичной
формуле
.
Замечание 2. Если
кривая на плоскости задана уравнением
,
где
,
то можно считать, что роль параметра
играет независимая переменная
.
Тогда длина кривой вычисляется по
формуле
.
Пример. Найти длину кривой, заданной уравнением:
Решение.
=
=
.
Пример. Найти длину кривой, заданной уравнениями:
Решение.
=
=
.
Пример. Найти длину кривой, заданной уравнениями:
Решение.
=
=
.
Замечание. Если
кривая задана уравнением в полярной
системе координат
,
где
,
то, поскольку
,
ее можно рассматривать как заданную
параметрически
,
где роль параметра играет угол φ ( ). Тогда длина кривой вычисляется по формуле
.
Поскольку
,
,
то
Пример. Найти длину
кривой, заданной уравнением
,
где
.
Решение.
.