Связанные определения
Матрицу называют характеристической матрицей матрицы А.
Уравнение
называют характеристическим
уравнением матрицы A.
Свойства
Для матрицы
,
характеристический многочлен имеет
степень 
.Все корни характеристического многочлена матрицы являются её собственными значениями.
Теорема Гамильтона — Кэли: если
—
характеристический многочлен матрицы
,
то 
.Характеристические многочлены подобных матриц совпадают:
.Если A и B — две -матрицы, то
.
В частности, отсюда вытекает,
что tr(AB)=tr(BA)
и det(AB)=det(BA).В более общем виде, если A —
-матрица,
а B — 
-матрица,
причем m<n,
так что AB и BA —
квадратные матрицы размеров m и n соответственно,
то
.
52 Жорданова нормальная форма
Жорданова матрица (нормальная жорданова форма) — одно из фундаментальных понятий линейной алгебры, имеющее большое число приложений в различных разделах математики и физики.
Жордановой
матрицей называется
квадратная блочно-диагональная матрица над полем 
,
с блоками вида
при
этом каждый блок 
называется жордановой
клеткой с собственным
значением
(собственные
значения в различных блоках, вообще
говоря, могут совпадать).
Для
произвольной квадратной
матрицы
над алгебраически
замкнутым полем
(например,
полем комплексных чисел 
)
всегда существует квадратная невырожденная
(т.е. обратимая, с отличным от нуля
определителем) матрица 
над
,
такая, что
является
жордановой матрицей. При этом
матрица 
называется жордановой
формой (или жордановой
нормальной формой)
данной матрицы
.
В этом случае также говорят, что жорданова
матрица
в
поле
подобна (или сопряжена)
данной матрице
.
И наоборот, в силу эквивалентного
соотношения
матрица подобна в поле матрице . Нетрудно показать, что введённое таким образом отношения подобия является отношением эквивалентности и разбивает множество всех квадратных матриц заданного порядка над данным полем на непересекающиеся классы эквивалентности.
Жорданова форма матрицы определена не однозначно, а с точностью до порядка жордановых клеток. Точнее, две жордановы матрицы подобны над в том и только в том случае, когда они составлены из одних и тех же жордановых клеток и отличаются друг от друга лишь расположением этих клеток на главной диагонали.
Свойства
Количество жордановых клеток порядка с собственным значением в жордановой форме матрицы можно вычислить по формуле
где 
— единичная
матрица того
же порядка что и
,
символ 
обозначает ранг
матрицы,
а 
,
по определению, равен порядку
.
Вышеприведённая формула следует из равенства
В случае если поле не является алгебраически замкнутым, для того чтобы матрица была подобна над некоторой жордановой матрице, необходимо и достаточно, чтобы поле содержало все корни характеристического многочлена матрицы .
У эрмитовой матрицы все жордановы клетки имеют размер 1.
Является матрицей линейного оператора в каноническом базисе.
Жордановы формы двух подобных матриц совпадают с точностью до порядка клеток.