1 Обшее уравнение прямой
Уравнение
вида
(1)
называется общим уравнением прямой.
2 Неполные уравнения прямой Уравнение прямой в отрезках
Если в общем уравнении прямой (1) один или два из трех коэффициентов (считая и свободный член) обращаются в нуль, то уравнение называется неполным. Возможны следующие случаи:
1). С=0;
уравнение имеет вид 
и
определяет прямую, проходящую через
начало координат.
2). В=0
(А
0);
уравнение имеет вид 
и
определяет прямую, перпендикулярную к
оси Ох. Это уравнение может быть записано
в виде х=а, где 
является
величиной отрезка, который отсекает
прямая на оси Ох, считая от начала
координат.
3). В=0, С=0 (А 0); уравнение может быть записано в виде х=0 и определяет ось ординат.
4). А=0
(В
0);
уравнение имеет вид 
и
определяет прямую, перпендикулярную к
оси Оу. Это уравнение может быть записано
в виде y=b,
где 
является
величиной отрезка, который отсекает
прямая на оси Оу, считая от начала
координат.
5). А=0, С=0 (В 0); уравнение может быть записано в виде у=0 и определяет ось абсцисс.
Если ни один из коэффициентов уравнения (1) не равен нулю, то его можно преобразовать к виду
,
(2)
где , суть величины отрезков, которые отсекает прямая на координатных осях.
Уравнение (2) называется уравнением прямой «в отрезках».
Если
две прямые даны уравнениями
и 
,
то могут представиться три случая:
а). 
-
прямые имеют одну общую точку;
б). 
-
прямые параллельны;
в). 
-
прямые сливаются, то есть оба уравнения
определяют одну и ту же прямую.
3 Каноническое уравнение прямой
Рассмотрим
в пространстве произвольную прямую 
.
Отметим на ней точку 
,
определяющую радиус, вектор 
и
лежащий на ней вектор 
,
приложенный к точке 
.
Произвольную текущую точку прямой
обозначим
через 
и
ее радиус-вектор через 
.
Вектор 
можно
записать в виде 
,
где 
-
некоторое число (скаляр). Если действительная
переменная
пробегает
интервал 
,
то конец вектора 
пробегает
всю прямую
.
Поэтому говорят, что равенство
(1) 
есть уравнение прямой, проходящей
через точку
и
направленной в сторону вектора 
.
На языке координат уравнение (1) распадается на три уравнения:
(1')
Исключая из них параметр , получим уравнения прямой (систему из двух уравнений)
,
(1'')
где 
, 
, 
одновременно
не равны нулю. Уравнения (1'') называются
уравнениями прямой в каноническом виде.
4 Параметрические уравнения прямой
Следующая система уравнений является параметрическими уравнениями прямой:
, 
,
(7)
где 
– координаты произвольной
фиксированной точки данной прямой, 
–
соответствующие координаты произвольного
направляющего вектора данной
прямой, t – параметр.
5 Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Определение.
Уравнение прямой вида 
называется
уравнением прямой с угловым коэффициентом,
а коэффициент k называется угловым
коэффициентом данной прямой.
Теорема. В уравнении прямой с угловым коэффициентом
у
гловой
коэффициент k равен тангенсу угла наклона
прямой к оси абсцисс:
.
Доказательство.
1) Если прямая 
,
то 
и 
.
С другой стороны, ее нормальный
вектор 
и 
.
Тогда 
и,
следовательно,
,
ч.т.д.
6 Угол между прямыми Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых
Углом между прямыми в пространстве будем называть любой из смежных углов, образованных двумя прямыми, проведёнными через произвольную точку параллельно данным.
Пусть в пространстве заданы две прямые:
Очевидно,
что за угол φ между прямыми можно принять
угол между их направляющими векторами 
и 
.
Так как 
,
то по формуле для косинуса угла между
векторами получим
.
Условия
параллельности и перпендикулярности
двух прямых равносильны условиям
параллельности и перпендикулярности
их направляющих векторов 
и
:
Две
прямые параллельны тогда
и только тогда, когда их соответствующие
коэффициенты пропорциональны,
т.е. l1 параллельна l2 тогда
и только тогда, когда 
параллелен 
.
Две
прямые перпендикулярны тогда
и только тогда, когда сумма произведений
соответствующих коэффициентов равна
нулю: 
.