1.7 Оптические волны в периодических средах

Явления, возникающие при распространении электромагнитного излучения в периодических средах используются во многих оптических устройствах, таких как дифракционные решетки, голограммы, лазеры на свободных электронах, лазеры с распределенной обратной связью, лазеры с распределенным брэгговским отражением, брэгговские отражатели с высокой отражательной способностью, акустооптические фильтры, светофильтры Штольца и др. В данном разделе будут рассмотрены некоторые общие свойства распространения электромагнитного излучения в периодических средах и слоистой периодической среде.

Оптические свойства периодической среды описываются тензорами диэлектрической проницаемости и восприимчивости, которые вследствие трансляционной симметрии среды являются периодическими функциями координаты x: где a – любой произвольный вектор решетки. Распространение монохроматического лазерного излучения в периодической среде описывается уравнениями Максвелла, которые должны оставаться неизменными, если в оператор  и ,  вместо x подставить (x+a):

В силу трансляционной симметрии среды, уравнения для нормальных мод имеют вид:

Функции E_K, H_K зависят от вектора K_Б. Вектор K_Б – волновой вектор Блоха. Это свойство известно, как теорема Флоке (или Блоха) [8, 9]. Величины  и K_Б связаны дисперсионным уравнением

Одномерные периодические среды

В современной оптике часто приходится иметь дело с одномерной периодической средой, тензор диэлектрической проницаемости которой удовлетворяет условию , где  - период, l – некоторое целое число (рис.1.7). При падении на периодическую слоистую среду свет будет претерпевать отражение и преломление на каждой границе раздела. Интерференционные максимумы при отражении возникают при условии которое называется условием Брэгга,  - угол падения. Конструктивная интерференция возникает, когда оптическая разность фаз м ежду лучами, отраженными от последовательных плоскостей решетки, составляет целое число длин волн.

Рис.1.7. Схематическое представление периодической слоистой среды

Распространение электромагнитного излучения в таких средах подчиняется волновому уравнению:

(1.43)

Так как среда периодическая, диэлектрический тензор  можно разложить в ряд Фурье:

(1.44)

где G пробегает все векторы обратной решетки, включая G=0. В одномерном случае:

В физике твердого тела вектор G называется вектором обратной решетки. В одномерной периодической среде вектор g параллелен оси z. Вектор электрического поля в такой среде можно выразить через интеграл Фурье:

(1.45)

подставляя выражения (1.45) и (1.44) в (1.43) получим бесконечную однородную систему уравнений относительно неизвестных коэффициентов A(k) и A(k-G):

(1.46)

Эту систему уравнений можно разбить на несколько подсистем, каждая их которых относится к волновому вектору K_Б и содержит уравнения относительно A(K_Б) и A(K_Б-G) со всевозможными векторами G. Каждая такая подсистема может быть решена по отдельности [8]. Решение подсистемы, характеризуемой вектором K_Б, можно записать в виде:

(1.47)

В одномерном случае:

(1.48)

является периодической функцией с периодом . Выражение (1.47) определяет нормальную моду распространения. Более общее решение (1.45) – линейную суперпозицию этих нормальных мод. Для однородной в x- и y- направлениях среды  не зависит от x и y, тогда из (1.47) и (1.48) находим выражение для блоховской моды электрического поля:

(1.49)

где E_K(z) – периодическая функция от z, K_x , K_y , K_z – компоненты вектора Блоха K_Б. В этом случае, задавая частоту  и набор величин (K_x,K_y), из уравнений (1.46) можно определить K_z. Существуют области значений , для которых K_z становится комплексным числом, и, следовательно, блоховская волна (1.49) оказывается затухающей. Падающее излучение от этих областей будет полностью отражаться. В диапазоне рентгеновского излучения это явление называется брэгговским отражением. А области частот, в которых распространение отсутствует – запрещенными зонами.

Наибольший интерес представляют явления и устройства, использующие периодические среды в области их запрещенных зон. Найдем приближенные решения для блоховских волн, когда условие Брэгга приблизительно выполняется. Считаем, что 1) волна распространяется в направлении оси z (т.е.K_x =K_y =0); 2) вектор поля перпендикулярен волновому вектору (K_БE=0); 3) среда изотропна (т.е. _l – скалярная величина). Запишем соответствующую систему уравнений:

Для нахождения блоховской волны с волновым числом K_Б нужно решить эту систему уравнений с k= K_Б, K_Б g, K_Б 2g,… и пренебрегая малыми величинами. При условии:

основными членами являются A(K_Б) и A(K_Б –g), т.е. между составляющими плоских волн A(K_Б) и A(K_Б –g) имеется резонансная связь. Пренебрегаем всеми другими коэффициентами, тогда система уравнений для блоховских волн с волновым числом K_Б имеет вид:

Как известно, система уравнений имеет нетривиальное решение только в случае, когда ее детерминант равен нулю, т.е.:

Последнее уравнение представляет собой явную запись дисперсионного уравнения =(K_Б), определяющего зависимость (K_Б). На рис.1.7. представлено графическое изображение дисперсионного уравнения для типичной периодической среды. Волны с частотами в запрещенных зонах не могут распространяться, поскольку вследствие брэгговского отражения они затухают. Условие Брэгга (K_Б –g  K_Б) выполняется точно при K_Б =(1/2)g=/, тогда получаем следующие два корня ² , которые определяют границы спектральной полосы:

(1.50)

При всех значениях частоты, которые находятся в интервале между ₊ и _- , корни дисперсионного уравнения для K_Б являются комплексными числами, вещественная часть которых равна /. Волны при этом являются затухающими, а их спектральный диапазон называется «запрещенной зоной». При значениях частоты, лежащих вне запрещенной зоны, корни дисперсионного уравнения являются вещественными и решения отвечают распространяющимся волнам.

Рис.1.8. Дисперсионные кривые в области запрещенной зоны

Ширина запрещенной зоны определяется величиной _gap =₊ - _-  и в соответствии с (18) дается выражением:

Таким образом, ширина запрещенной зоны пропорциональна коэффициенту Фурье для диэлектрической проницаемости. Мнимая часть волнового числа в центре запрещенной зоны пропорциональна относительной ширине этой зоны и дается выражением:

Все выше изложенное относилось к случаю распространения волн вдоль оси z. Для произвольного направления распространения (т.е.K_x и K_y 0) дисперсионное уравнение оказывается более сложным и зависит от состояния поляризации.

Периодические слоистые среды

Простейшая периодическая среда состоит из чередующихся слоев прозрачных материалов с различными показателями преломления (рис.1.7)

Для таких структур можно получить точное решение волнового уравнения. Общее решение для вектора электрического поля волны распространяющейся в плоскости yz имеет вид , где k_y – составляющая волнового вектора, которая остается постоянной при распространении через среду. Электрическое поле внутри каждого однородного слоя можно представить в виде суммы падающей и отраженной плоских волн. Комплексные амплитуды этих двух волн составляют компоненты вектор-столбца. Таким образом, электрическое поле в слое  (=1,2) n-й элементарной ячейки можно записать в виде вектор-столбца:

_.

Вектор-столбцы связаны между собою условиями непрерывности на границах раздела. Вследствие этого для ТЕ волн (вектор Е перпендикулярен плоскости yz) можно получить матричное уравнение [8]:

_.

Матрица представляет собой матрицу преобразования, связывающую амплитуды плоских волн в слое 1 элементарной ячейки с аналогичными амплитудами для эквивалентного слоя в следующей элементарной ячейке. И является унимодулярной, т.е. AD-BC=1. Элементы матрицы имеют вид:

Матричные элементы Для ТМ волн (вектор H перпендикулярен плоскости yz) отличаются от аналогичных элементов ТЕ волн.

Блоховские волны и зонная структура

Периодическая слоистая среда эквивалентна одномерному кристаллу, который инвариантен относительно трансляций на постоянную решетки. Оператор трансляции Tz=z-l, где l –целое число. Отсюда следует, что:

.

Полученная выше матрица ABCD является представлением оператора трансляции на элементарную ячейку. Согласно теореме Блоха вектор электрического поля нормальной моды в периодической слоистой среде имеет вид:

,

где E_K(z) – периодическая функция зависящая от частоты (индекс К) с периодом , т.е. E_K(z)= E_K(z+). Используя представление с помощью вектор-столбцов и условие периодичности запишем уравнение на собственные значения для блоховской волны:

_. (1.51)

Фазовый множитель e^iK является собственным значением матрицы трансляции ABCD и удовлетворяет характеристическому уравнению:

_,

решение которого имеет вид:

_. (1.52)

Собственные векторы, отвечающие этим собственным значениям, являются решениями уравнения (1.51) и с точностью до произвольной постоянной записываются в виде:

.

Соответствующий собственный вектор столбец для n-й элементарной ячейки дается выражением:

_.

Уравнение (1.52) дает искомую зависимость между , k_y и K_Б для волновой функции Блоха в виде дисперсионного уравнения:

_. (1.53)

Режимы при которых (A+D)/2<1, отвечают вещественному K_Б и, следовательно, распространяющимся блоховским волнам. В случае (A+D)/2>1, имеем K_Б =m/+i K_Б z, т.е. в K_Б присутствует мнимая часть и блоховская волна затухает. Эти области частот соответствуют запрещенным зонам. Границы запрещенной зоны определяются из условия (A+D)/2=1. Уравнение (1.53) определяет блоховское волновое число K_Б вдоль направления оси z для блоховской волны с частотой  и y-составляющую k_y волнового вектора. Эту дисперсионную зависимость (K) можно представить графически в виде поверхности в трехмерном пространстве (K_Б, k_y,  ) для ТЕ и ТМ волн (рис.1.8). Сечения этой поверхности плоскостями K_Б=m/ представляют собой кривые, которые определяют границы зоны. Область действительных значений волнового вектора соответствует пропусканию света, на рисунках ее символизируют заштрихованные места. Не заштрихованные области соответствуют запрещенным зонам.

Для частного случая ТМ мод имеются некоторые особенности. Дисперсионное уравнение для этих волн имеет вид:

Дисперсионная зависимость для ТМ волн представлена на рис.1.9 (б). Очевидно, что для TM мод фотонная запрещенная зона сужается и стремится к нулю. Это может происходить по двум причинам: 1) вследствие существования угла Брюстера, при котором, как известно отсутствует отражение и, следовательно, будет отсутствовать запрещенная зона (это происходит при условии k_y =(/c)n₂sin_Б, где _Б – угол Брюстера). В нашем случае углу Брюстера соответствует линия k_y./ = - 0.246. На рис.1.8.(б) хорошо видны эти места, соответствующие сжимающейся к нулю запрещенной зоне. Вблизи этих точек можно заметить очень узкую запрещенную зону, которая своим положением и размером строго зависит от относительного показателя преломления.

а) б)

Рис.1.9. Зонная структура для ТЕ (а) и ТМ (б) волн. Темные области соответствуют разрешенным зонам. V – частота нормированная на период.

Брэгговское отражение

Рассмотрим периодическую многослойную структуру, состоящую из N элементарных ячеек. Коэффициент отражения определяется по формуле

_, где a₀ – амплитуда падающей волны и b₀ – комплексная амплитуда отраженной волны на входе, b_N – амплитуда волны падающей на структуру справа, в данном случае, при b_N=0, эта волна отсутствует. Для этого случая справедливо выражение:

_.

Возводя унимодулярную матрицу в степень N, и проводя некоторые преобразования, с использованием вышеизложенных формул [8], получим выражение для амплитудного коэффициента отражения:

,

причем K_Б дается выражением (1.53).

Коэффициент отражения вычисляется как квадрат модуля:

_.

Коэффициент отражения типичного брэгговского отражателя r₁² обычно много меньше единицы (рис.1.10). Второй член в знаменателе последнего выражения при больших значениях N представляет собой быстроменяющуюся функцию величины K_Б (или, что тоже самое k_y и ). Следовательно, структура спектра отражения определяется, главным образом, этим членом. Между двумя запрещенными зонами имеется ровно (N-1) узлов, в которых коэффициент отражения обращается в нуль. Максимумы коэффициента отражения имеют место в центрах запрещенных зон. Внутри запрещенной зоны величина K_Б=m+iK_i, т.е. является комплексным числом, а формула для коэффициента отражения принимает вид:

_,

откуда следует, что для брэгговского отражателя с большим числом периодов коэффициент отражения в запрещенной зоне порядка единицы (см. рис.1.10).

Структуры зон и коэффициентов отражения для ТЕ и ТМ волн не одинаковы. Для ТМ волны, падающей под углом Брюстера _Б, отраженная волна отсутствует независимо от числа пластинок N. Это связано с обращением в ноль динамического множителя C² при значении угла Брюстера.

Рис.1.10. Спектр отражения излучения для типичного брэгговского отражателя

Таким образом, мы получили точное решение задачи о распространении электромагнитного излучения в периодической слоистой среде, основанное на формализме функций Блоха. Однако, существуют такие периодические среды, для которых можно получить лишь приближенные решения системы уравнений Максвелла. В этом случае пользуются теорией связанных мод, описанной в [8].

37