1.3. Волновое уравнение и плоские волны
В случае
отсутствия источников в свободном
пространстве
проделаем простые линейные преобразования
с уравнениями (1.5). Для этого применим
оператор
к левой и правой части уравнения для
электрической компоненты поля и
воспользуемся выражением для
.
Получим волновое уравнение для
электрического поля [3]:
,
(1.21)
(1.22)
Для материальной
среды с параметрами
волновое уравнение имеет вид:
(1.23)
Решение волнового уравнения в виде плоской волны запишем, как:
.
(1.24)
Для подвижной
системы координат, движущейся со
скоростью волны, траектория движения
должна удовлетворять условию:
.
(1.25)
Уравнение
(1.25) является уравнением плоскости,
перпендикулярной в любой момент времени
волновому вектору
.
Эта плоскость называется поверхностью
постоянной фазы и перемещается в
пространстве со скоростью, называемой
фазовой скоростью
.
Перейдя к комплексным амплитудам в
(1.23), получим волновое уравнение:
(1.26)
где
-
фазовая скорость волны и скорость света
в вакууме соответственно.
Решение волнового
уравнения
для оси
представляет собой суперпозицию двух
плоских волн:
Здесь комплексная
амплитуда сигнала
.
Таким образом,
каждый гармонический источник на оси
создает
две плоские волны: прямую волну (
)
и обратную- (
).
В декартовой системе координат каждый волновой вектор имеет три проекции или три пространственные частоты.
Следует заметить,
что в радиотехнике используется временная
форма сигнала
,
в то время как в оптике – пространственная
форма сигнала
.
Ниже приведена пространственно-временная
аналогия гармонических сигналов (рис.
1.2).
Рис.1.2. Пространственно- временная аналогия сигналов
Круговая частота
и пространственная частота на направление
определяются как:
,
,
где
-
угол между волновым вектором и нормалью
к выбранной оси
.
Таким образом, пространственная частота на данное направление зависит от длины волны и направления распространения волны к выбранному направлению. Размерность пространственной частоты - см-1.
Волновые пакеты
Решение (1.26) для оптических сигналов в общем виде ищем в виде ряда Фурье:
Здесь
определяет элемент объема в k-
пространстве, где
-
пространственные частоты или проекции
волнового вектора на выбранные направления
.
Лазерный импульс и его Фурье-образ в k-пространстве показаны на рис.1.3. Ограниченность длительности лазерного импульса приводит к существованию конечной полосы частот или полосы длин волн. Линейность уравнений Максвелла позволяет представлять сигналы в виде линейной комбинации плоских волн с различными частотами. Однако, при распространении сигнала с конечным спектром частот (импульса) в диспергирующей среде, в которой фазовая скорость зависит от частоты, возникает ряд особенностей, в частности, увеличение длительности или «уширение» импульса.
Рис. 1.3. Лазерный импульс конечной длительности и его Фурье-спектр
в пространстве волновых чисел
Дисперсионное
уравнение, устанавливающее связь между
круговой частотой
и
волновым вектором
для электромагнитного поля, можно
записать в виде:
,
(1.27)
где величины
и
считаем вещественными.
Оптический
(лазерный) импульс можно охарактеризовать
центральной частотой
или центральным волновым вектором
и шириной полосы
или
.
Рассмотрим эволюцию такого импульса
во времени. Разложим функцию
в ряд Тейлора в окрестности
:
(1.28)
Подставив (1.28) в (1.23) получим:
.
С точностью до общего фазового множителя лазерный импульс распространяется с сохранением своей формы со скоростью:
,
которая называется
групповой скоростью импульса. В общем
виде, когда плотность энергии лазерного
импульса связана с квадратом модуля
амплитуды, групповая скорость представляет
собой скорость переноса энергии. При
этом групповая и фазовая скорости
различны, т.е.
.
В оптике
дисперсионные свойства среды описываются
функцией показателя преломления от
частоты
.
Фазовая и групповая скорости в
диспергирующей среде записываются как
(1.29)
При нормальной
дисперсии (
)
групповая скорость меньше фазовой. В
областях аномальной дисперсии величина
может быть большой и отрицательной.
Если спектральная ширина импульса равна , то разброс в групповых скоростях имеет величину порядка:
.
При распространении
импульса уширение импульса составляет
величину
.