Гармонические колебания и комплексные амплитуды

Как известно свет можно представить в виде потока фотонов (квантово - механическое представление) и в виде волн (волновая оптика). В таких волнах электрическое и магнитное поле изменяется по синусоидальному закону с одинаковой частотой . Однако, здесь мы сразу сталкиваемся с допущением далеким от действительности. Дело в том, что область определения гармонических функций безгранична и простирается от до . Данное допущение не учитывает ограниченных во времени реальных переходных процессов. Поэтому гармонические колебания – это всего лишь математическая модель. А что же представляют собой реальные сигналы? Уравнения Максвелла линейны. Поэтому можно применять преобразования Фурье, с помощью которых реальный сигнал может быть представлен в виде линейной комбинации бесконечного числа гармонических составляющих. Важно знать, что каждая гармоническая составляющая не может существовать отдельно от гармонического пакета.

В произвольной точке пространства компоненты электромагнитного поля (E,H) можно записать в виде:

Здесь уместно ввести удобную запись гармонического колебания в комплексной форме в виде комплексной амплитуды . Поскольку все операторы линейны, можно оперировать в расчетах с комплексными амплитудами, в конце вычислений физические поля определять в виде:

Выбор знака в показателе экспоненты – простая условность. В дальнейшем будем брать знак плюс.

На основании выше сказанного уравнения Максвелла в комплексной форме будут выглядеть как:

(1.12)

1.2. Теорема Умова-Пойтинга и законы сохранения

Энергия электромагнитного поля, запасаемая в единице объема , представляет собой сумму энергии электрического поля и магнитного поля . Тогда полную энергию электромагнитного поля в объеме V запишем в виде:

, (1.13)

где

Энергия электромагнитного поля W, запасенная в объеме V в единицу времени, может быть затрачена на излучение из объема и наведение токов проводимости, если есть в объеме проводники. Потери на излучение с элемента поверхности характеризуются вектором Умова-Пойтинга - , а омические потери – законом Ома - . Вектор Умова-Пойтинга определяется как векторное произведение напряженностей электрического и магнитного поля. Физически модуль вектора Умова-Пойтинга представляет собой интенсивность излучаемого электромагнитного поля I (Вт/м²). Другими словами модуль вектора Умова-Пойтинга представляет собой энергию поля, запасаемую в единицу времени в объеме в виде цилиндра с площадью основании в 1 м² и образующей равной м.