Алгоритм нахождения экстремума в задаче (3)

1. Найти экстремаль (экстремали) , удовлетворяющую уравнению Эйлера и заданным граничным условиям.

2. Проверить достаточные условия сильного и слабого экстремума на найденной экстремали. Если достаточные условия выполняются сделать вывод о достижении сильного или слабого минимума или максимума. Если достаточные условия не выполняются, учесть пп. 2 и 3 замечаний. В случае невыполнения условий Лежандра вывод об отсутствии экстремума сделать нельзя. Если достаточные условия экстремума выполняются, вычислить значение функционала на найденном решении.

Пример. Найти экстремум функционала

, , .

Решение.

1. Найдем экстремаль , удовлетворяющую уравнению Эйлера и граничным условиям. Так как подынтегральная функция не зависит от и явно, то уравнение Эйлера имеет общее решение . Из граничных условий

находим , . В результате получаем экстремаль .

2. Проверим достаточные условия сильного экстремума:

а) для проверки условия Якоби составим уравнение Якоби (12). Так как на экстремали производная равна и , , , то уравнение (12) имеет вид . Отсюда и . Из условия получаем и . Так как нетривиальное решение ( ) уравнения Якоби при , то условие Якоби выполняется;

б) так как функция трижды дифференцируема по , то применим условие Лежандра. Поскольку не сохраняет знака при любых , то достаточные условия сильного максимума и минимума не выполняются, а вопрос о наличии сильного экстремума остается открытым.

Проверим достаточные условия слабого максимума:

а) условие Якоби выполняется;

б) применим усиленное условие Лежандра. Так как на экстремали , то на ней достигается слабый минимум.

Найдем значение функционала:

.

Пример. Найти экстремум функционала

, , .

Решение.

1. Найдем экстремаль , удовлетворяющую уравнению Эйлера и граничным условиям: .

2. Проверим достаточные условия сильного экстремума:

а) для проверки условия Якоби составим уравнение Якоби (12). Так как , , , , то уравнение (12) имеет вид . Отсюда и - общее решение. Из условия получаем и . Так как нетривиальное решение ( ) уравнения Якоби при , то условие Якоби выполняется;

б) так как функция трижды дифференцируема по , то применим условие Лежандра. Поскольку при любых , то на кривой достигается сильный минимум. Очевидно на этой же кривой достигается и слабый минимум.

2. Функционалы ,

зависящие от нескольких функций

Постановка задачи

Рассмотрим множество допустимых вектор-функций , удовлетворяющих следующим условиям:

1. Функции определены и непрерывно дифференцируемы на отрезке , где - заданы, т.е.

2. Функции удовлетворяют граничным условиям:

(14)

где заданы, т.е. каждая из кривых проходит через две закрепленные граничные точки.

На множестве задан функционал

(15)

где подынтегральная функция имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно по всем переменным.

Среди допустимых вектор-функций , принадлежащих множеству , требуется найти вектор-функцию , на которой функционал (15) достигает экстремума, т.е.

(16)

Теорема (необходимые условия экстремума в задаче (16))

Если на вектор-функции , где

функционал (15) достигает слабого экстремума, то функции удовлетворяют системе уравнений Эйлера