Случай непостоянной вероятности появления события в опытах

Мы предполагали, что вероятность наступления события в каждом из опытов постоянна. На практике часто приходится встречаться с более сложным случаем, когда опыты производятся в неодинаковых условиях, и вероятность события от опыта к опыту меняется. Например, производится серия выстрелов при изменяющейся дальности.

Способ вычисления вероятности заданного числа появлений событий в таких условиях дает общая теорема о повторении опытов.

Пусть проводится независимых опытов, в каждом из которых может появиться или не появиться некоторое событие , причем вероятность появления этого события в -м опыте равна , а вероятность его не появления соответственно . Требуется найти вероятность того, что в результате опытов событие появится ровно раз.

Решение данной задачи проводится с помощью так называемой производящей функции, имеющей вид:

.

Для того чтобы найти вероятность появления события ровно раз в серии опытов, достаточно произвести перемножение сомножителей в производящей функции. Коэффициент при члене и даст искомую вероятность .

Пример. Производится 4 независимых выстрела по одной и той же цели с различных расстояний. Вероятности попадания при этих выстрелах равны соответственно

.

Найти вероятность трех попаданий.

Решение: Составим производящую функцию

Отсюда вероятность трех попаданий равна 0,040. Легко найти и вероятности ни одного, одного, двух и четырех попаданий, выписывая коэффициенты при и .

Наивероятнейшее число наступления событий в схеме Бернулли.

Число наступлений события называется наивероятнейшим, если оно имеет наибольшую вероятность по сравнению с вероятностями наступления любое другое количество раз.

Теорема. Наивероятнейшее число наступлений события в независимых испытаниях заключено между числами и .

Следует отметить, что наивероятнейших чисел может быть два или одно в зависимости от того, является np+p целым числом или нет. Если это число нецелое, то наивероятнейшее число (целая часть), в противном случае имеется два значения и

Предельные теоремы для схемы Бернулли.

Если число испытаний велико, формулу Бернулли применять неудобно. В этом случае можно применять приближенные формулы, точность которых увеличивается с возрастанием .

Теорема Пуассона.

Теорема: Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и мала, а число независимых испытаний достаточно велико, то вероятность того, что событие наступит раз, приближенно равна

,

где .

Доказательство:

Введем обозначение , выразим отсюда и подставим это выражение в формулу Бернулли:

.

При все выражения в скобках, за исключением предпоследнего, можно принять равными единице, т.е.

.

При

,

поэтому

,

что и требовалось доказать.

Понятие потока событий.

Формула Пуассона находит применение в теории массового обслуживания. Она может рассматриваться как математическая модель простейшего потока событий с интенсивностью . Параметр представляет при этом среднее число успехов.

Потоком событий называют последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени. Интенсивностью потока называют среднее число событий в единицу времени. Простейшим (пуассоновским) называют поток событий, который обладает свойствами стационарности, отсутствия последействий и ординарности.

Свойство стационарности характеризуется тем, что вероятность появления событий на любом промежутке времени зависит только от числа и от длительности промежутка времени и не зависит от начала его отсчёта.

Свойство отсутствия последействия характеризуется тем, что вероятность появления событий на любом промежутке времени не зависит от того, появлялись или не появлялись события в моменты времени, предшествующие началу рассматриваемого промежутка, т.е. предыстория потока не сказывается на вероятности появления событий.

Свойство ординарности характеризуется тем, что появление двух и более событий за малый промежуток времени маловероятно по сравнению с вероятностью появления только одного события.

Если интенсивность простейшего потока известна, то вероятность появления событий за время определяется формулой

Пример простейшего потока событий. Среднее число заказов такси, поступающих на диспетчерский пункт в одну минуту, равно трем. Найти вероятность того, что за 2 минуты поступит 4 вызова.

Подставляя в вышеприведенную формулу , получим