1. Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии.

Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально, причем среднее квадратическое отклонение s этого распределения известно. Требуется оценить неизвестное математическое ожидание по выборочному среднему . Найдем доверительные интервалы, покрывающие параметр a с надежностью .

Будем рассматривать выборочное среднее как случайную величину (т.к. меняется от выборки к выборке) и выборочные значения - как одинаково распределенные независимые случайные величины (эти числа также меняются от выборки к выборке). Другими словами, математическое ожидание каждой из этих величин равно и среднее квадратическое отклонение - s. Так как случайная величина X распределена нормально, то и выборочное среднее также распределено нормально. Параметры распределения равны .

Потребуем, чтобы выполнялось соотношение ,

где - заданная надежность. Используем формулу .

Заменим X на и s на и получим

где . Выразив из последнего равенства , получим

Так как вероятность P задана и равна , окончательно имеем

.

Таким образом, с надежностью можно утверждать, что доверительный интервал покрывает неизвестный параметр a, причем точность оценки равна .

Число определяется из равенства ; по таблице функции Лапласа находят аргумент , которому соответствует значение функции Лапласа, равное .

Отметим два момента: 1) при возрастании объема выборки n число убывает и, следовательно, точность оценки увеличивается, 2) увеличение надежности оценки приводит к увеличению (так как функция Лапласа возрастающая функция) и, следовательно, к возрастанию , то есть увеличение надежности оценки влечет за собой уменьшение ее точности.

Если требуется оценить математическое ожидание с наперед заданной точностью и надежностью , то минимальный объем выборки, который обеспечит эту точность, находят по формуле

,

следующей из равенства .

2. Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии

Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально, причем среднее квадратическое отклонение s этого распределения неизвестно. Требуется оценить неизвестное математическое ожидание с помощью доверительных интервалов.

Оказывается, что по данным выборки можно построить случайную величину ,

которая имеет распределение Стьюдента с степенями свободы. В последнем выражении - - выборочное среднее, - исправленное среднее квадратическое отклонение, - объем выборки; возможные значения случайной величины T мы будем обозначать через t. Плотность распределения Стьюдента имеет вид

, где некоторая постоянная, выражающаяся через гамма – функции.

Несколько слов о распределении Стьюдента. Пусть - независимые стандартные нормальные величины. Тогда случайная величина

имеет распределение Стьюдента (В. Госсет) с степенями свободы. При росте числа степеней свободы распределение Стьюдента стремится к нормальному распределению и уже при использование нормального распределения дает хорошие результаты.

Как видно, распределение Стьюдента определяется параметром n – объемом выборки (или, что то же самое – числом степеней свободы ) и не зависит от неизвестных параметров . Поскольку - четная функция от t , то вероятность выполнения неравенства

определяется следующим образом: .

Заменив неравенство в круглых скобках двойным неравенством, получим выражение для искомого доверительного интервала

Итак, с помощью распределения Стьюдента найден доверительный интервал , покрывающий неизвестный параметр a с надежностью . По таблице распределения Стьюдента и заданным n и можно найти и используя найденные по выборке и , , можно определить доверительный интервал.

Пример. Количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема n = 16 найдены генеральное среднее и исправленное среднее квадратическое отклонение . Требуется оценить неизвестное математическое ожидание при помощи доверительного интервала с надежностью 0,95.

Решение. Найдем по таблице распределения Стьюдента, используя значения . Этот параметр оказывается равным 2,13. Найдем границы доверительного интервала:

То есть с надежностью 0,95 неизвестный параметр a заключен в доверительном интервале

Можно показать, что при возрастании объема выборки n распределение Стьюдента стремится к нормальному. Поэтому практически при n > 30 можно вместо него пользоваться нормальным распределением. При малых n это приводит к значительным ошибкам.

3. Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения s нормального распределения

Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально и требуется оценить неизвестное генеральное среднее квадратическое отклонение s по исправленному выборочному среднему квадратическому отклонению s. Найдем доверительные интервалы, покрывающие параметр s с заданной надежностью .

Потребуем, чтобы выполнялось соотношение

или

Преобразуем двойное неравенство в равносильное неравенство и обозначим d / s = q. Имеем (A)

и необходимо найти q. С этой целью введем в рассмотрение случайную величину

Оказывается, величина распределена по закону с n – 1 степенями свободы.

Несколько слов о распределении хи-квадрат. Если - независимые стандартные нормальные величины, то говорят, что случайная величина

имеет распределение хи-квадрат с степенями свободы.

Плотность распределения c имеет вид

Это распределение не зависит от оцениваемого параметра s, а зависит только от объема выборки n.

Преобразуем неравенство (A) так, чтобы оно приняло вид . Вероятность этого неравенства равна заданной вероятности , т.е. .

Предполагая, что q < 1, перепишем (A) в виде

,

далее, умножим все члены неравенства на :

или .

Вероятность того, что это неравенство, а также равносильное ему неравенство (A) будет справедливо, равна

.

Из этого уравнения можно по заданным найти , используя имеющиеся расчетные таблицы. Вычислив по выборке и найдя по таблице , получим искомый интервал (A1), покрывающий s с заданной надежностью .

Пример. Количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема n = 25 найдено исправленное среднее квадратическое отклонение s = 0.8. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение s с надежностью 0,95.

Решение. По заданным по таблице находим значение q = 0.32. Искомый доверительный интервал есть

.

Мы предполагали, что q < 1. Если это не так, то мы придем к соотношениям

,

и значение q >1 может быть найдено из уравнения

Лекция 14. Доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии