Выборочные среднее и дисперсия
Пусть для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака X извлечена выборка объема n.
Выборочным
средним
называют среднее арифметическое значение
признака выборочной совокупности. Если
все значения
признака
выборки объема n различны,
то
.
Если
значения признака
имеют
частоты
соответственно, причем
,
то
.
Выборочное среднее, найденное по данным одной выборки, равно определенному числу. При извлечении других выборок того же объема выборочное среднее будет меняться от выборки к выборке. То есть выборочное среднее можно рассматривать как случайную величину и говорить о его распределениях (теоретическом и эмпирическом) и о числовых характеристиках этого распределения (например, о математическом ожидании и дисперсии).
Для
охарактеризования рассеяния наблюдаемых
значений количественного признака
выборки вокруг среднего значения
вводится выборочная дисперсия.
Выборочной дисперсией
называют среднее арифметическое
квадратов отклонения наблюдаемых
значений признака от их среднего значения
.
Если все значения
признака
выборки объема n различны,
то
.
Если
значения признака
имеют
частоты
соответственно, причем
,
то
.
Аналогично выборочным среднему и дисперсии определяются генеральные среднее и дисперсия, характеризующие генеральную совокупность в целом. Для расчета этих характеристик достаточно в вышеприведенных соотношениях заменить объем выборки n на объем генеральной совокупности N.
Фундаментальное
значение для практики имеет нахождение
среднего и дисперсии признака генеральной
совокупности по соответствующим
известным выборочным параметрам.
Можно показать, что выборочное
среднее является несмещенной
состоятельной оценкой генерального
среднего. В то же время, несмещенной
состоятельной оценкой генеральной
дисперсии оказывается не выборочная
дисперсия
,
а так называемая “исправленная”
выборочная дисперсия, равная 
.
Таким образом, в качестве оценок генерального среднего и дисперсии в математической статистике принимают выборочнее среднее и исправленную выборочную дисперсию.
Надежность и доверительный интервал.
До сих пор мы рассматривали точечные оценки, т.е. такие оценки, которые определяются одним числом. При выборке малого объема точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра, что приводит к грубым ошибкам. В связи с этим при небольшом объеме выборки пользуются интервальными оценками.
Интервальной
называют оценку, определяющуюся двумя
числами – концами интервала. Пусть
найденная по данным выборки статистическая
характеристика
служит оценкой неизвестного параметра
.
Очевидно,
тем точнее определяет параметр
,
чем меньше абсолютная величина разности
.
Другими словами, если
и
,
то чем меньше d, тем
точнее оценка. Таким образом, положительное
число d характеризует
точность оценки.
Статистические методы не позволяют утверждать, что оценка удовлетворяет неравенству ; можно говорить лишь о вероятности, с которой это неравенство осуществляется.
Надежностью (доверительной вероятностью) оценки по называют вероятность g, с которой осуществляется неравенство . Обычно надежность оценки задается заранее, причем в качестве g берут число, близкое к единице – как правило 0,95; 0,99 или 0,999.
Пусть
вероятность того, что
равна g:
.
Заменим неравенство равносильным ему двойным неравенством
.
Это
соотношение следует понимать так:
вероятность того, что интервал
заключает в себе (покрывает) неизвестный
параметр Q, равна
.
Таким образом, доверительным называют интервал , который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью .
Величину 1 - g = a называют уровнем значимости или вероятностью ошибки.
Для построения интервальной оценки параметра необходимо знать закон его распределения как случайной величины
Лекция 14. Доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии