3 Стислі теоретичні відомості

3.1 Проектування комбінаційних схем

Змінна x, яка приймає лише два значення (0 та 1), називається двійковою змінною. Функція

f (x1, x2, …, xn) від двійкових змінних x1, x2, …, xn, також приймає лише два значення (0 та 1), називається перемикальною функцією.

Набором називають упорядковану послідовність значень аргументів.

Перемикальна функція може бути задана декількома способами:

- аналітичний вираз;

- словесний опис;

- таблиця істинності;

- геометричне представлення.

Дві перемикальні функції відрізняються одна від одної, якщо їх значення різні хоча б на

одному наборі змінних.

Перемикальна функція, яка приймає на будь-якому наборі значення 0, називається

константою 0 та записується таким чином: f (x1, x2, …, xn)=0.

Перемикальна функція, яка приймає на будь-якому наборі значення 1, називається

константою 1 та записується таким чином: f (x1, x2, …, xn)=1.

Фундаментальне значення в теорії побудови комбінаційних схем має функціонально повна

система, до складу якої входять три функції: інверсія, кон’юнкція, диз’юнкція.

Інверсія є функцією від однієї змінної та інверсія змінної x позначається x (читається

“інверсія x” чи “не x”). Функція x дорівнює 0 тоді і лише тоді, коли x =1. При x=0 функція x =1.

Кон’юнкція та диз’юнкція розглядаються як функції від багатьох змінних. Кон’юнкцію

позначають символом, прийнятим у звичайній алгебрі для позначення добутку або &. Таким

чином, кон’юнкція змінних x1, x2 позначається x1 ∧ x2( читається “x1 та x2” ). Для позначення

диз’юнкції вводиться символ ∨ . Наприклад, диз’юнкція змінних x1, x2 позначається x1 ∨ x2 (

9

читається “x1 чи x2 ” ).

Кон’юнкція x1• x2• ... • xn дорівнює 1 лише тоді, коли xi =1 для усіх i=1,2, …, n.

Диз’юнкція x1 ∨ x2 ∨ ... ∨ xn дорівнює 0 лише тоді, коли xi =0 для усіх i=1,2, …, n.

На рисунках 3.1.1 – 3.1.5 наведено схеми, таблиці істинності, діаграми роботи логічних

елементів “І”, “АБО”, “НЕ”, “І-НЕ”, “АБО-НЕ”.

Схема „ І ”

х1

х2

&

х1

х3

х3

х2

х4

x3=х1.AND. х2

х5

х1

х2

х3

х6

0

0

0

х7

1

0

0

х8

0

1

0

1

1

1

х9

Х1=ІМР()

х2 = GEN()

х0

Рисунок 3.1.1 - Схема, таблиця істинності, діаграма роботи логічного елементу “І”

Схема „AБО”

х1

х2

1

х1

х3

х3

х2

х4

x3=х1 .OR. х2

х5

х1

х2

х3

х6

0

0

0

х7

1

0

1

х8

0

1

1

1

1

1

х9

Х1=ІМР()

х2 = GEN()

х0

Рисунок 3.1.2 - Схема, таблиця істинності, діаграма роботи логічного елементу “АБО”

10

Схема „НЕ”

х1

х2

&

х

х

1

х

3

2

х4

x2= .NOT

. х1

х5

х1 х2

х6

0

1

х7

1

0

х8

Х1=ІМР()

х9

х0

Рисунок 3.1.3 - Схема, таблиця істинності, діаграма роботи логічного елементу “НЕ”

Схема „АБО-НЕ”

х1

х2

1

х1

х

х

3

3

х1

х4

x3= .NOT. (х1 . AND. x2)

х5

х1

х2

х3

х6

0

0

1

х7

1

0

0

0

1

0

х8

1

1

0

х9

х1=ІМР ()

х2=GEN()

х0

.

Рисунок 3.1.4 - Схема, таблиця істинності, діаграма роботи логічного елементу “АБО-НЕ”

Схема „І-НE”

х1

х2

&

х1

х3

х3

х2

х4

x3= .NOT

. (x1 . AND

. Х2)

х5

х1 х2

х3

х6

0

0

1

х7

1

0

1

х8

0

1

1

1

1

0

х9

Х1=ІМР()

х2 = GEN()

х0

Рисунок 3.1.5 - Схема, таблиця істинності, діаграма роботи логічного елементу “І-НЕ”

11

Зв’язок між функціями І, АБО, І-НЕ, АБО-НЕ встановлюється за допомогою правил де

Моргана:

x ∨ y = x ⋅ y

x ⋅ y = x ∨ y

або

x ∨ y = x ⋅ y

x ⋅ y = x ∨ y

Логічний елемент – це електронна схема, що реалізує певну перемикальну функцію.

Сукупність логічних елементів, призначена для перетворення двійкових змінних,

називається логічною схемою.

Логічні схеми поділяються на послідовні і комбінаційні.

Комбінаційною називається логічна схема, в якій значення вихідних сигналів цілком

визначаються значеннями вхідних сигналів, що діють в даний момент часу і не залежать від

значень вхідних сигналів, що діяли в попередні моменти часу.

Вважають, що така схема має один стан. Поведінка комбінаційної схеми може бути

описана системою перемикальних функцій.

Розрізняють задачі аналізу і синтезу комбінаційних схем.

Задача аналізу комбінаційної схеми зводиться до знаходження системи функцій, що

відображають логіку роботи цієї схеми.

Задача синтезу зворотна задачі аналізу, тобто припускає побудову схеми, використовуючи

заданий базис логічних елементів.

Синтез комбінаційної схеми по суті зводиться до визначення булевого виразу для заданої

перемикальної функції. Методи, які дозволяють для будь-якої перемикальної функції записати

булевий вираз, основані на тому, що вводяться вирази певного виду, які називаються

канонічними формами, а потім формулюються достатньо прості правила запису будь-якої

функції у цих формах. В якості канонічних форм використовуються довершена диз’юнктивна та

кон’юнктивна нормальні форми.

Довершена диз’юнктивна нормальна форма (ДДНФ) перемикальної функції вводиться на

підставі поняття констітуенти одиниці. Перемикальну функцію від n змінних , що дорівнює 1

лише на одному двійковому наборі довжини n, називають конституентою одиниці цього набору.

Диз’юнкція конституент одиниці усіх тих та лише тих наборів, у яких перемикальна

функція f (x1, x2,, …, xn) дорівнює 1, називається довершеною диз’юнктивною нормальною

формою цієї функції.

Нехай функція f (x1, x2,, …, xn) дорівнює 1 на m двійкових наборах. Існує правило побудови

ДДНФ цієї функції:

1) виписують m кон’юнкцій усіх змінних, ставлячи між ними знак диз’юнкції;

2) записують під кожною кон’юнкцією двійковий набір, на якому функція f (x1, x2,, …,

xn) = 1;

3) ставлять знаки інверсії над тими змінними, під якими записано 0.

Приклад: Подати в ДДНФ перемикальну функцію f (X1,X2), яка задана табл. 13.

12

Таблиця 3.1.1 – Перемикальна функція f (X1,X2)

Номер X1 X2 f (X1,X2)

набору

1

0

0

0

2

0

1

1

3

1

0

1

4

1

1

0

З таблиці 3.1.1 видно, що задана функція дорівнює 1 на двох наборах. Виписуємо дві

кон’юнкції двох змінних та ставимо між ними знак диз’юнкції:

x1x2 ∨ x1x2.

Під кожною кон’юнкцією записуємо набір, на якому функція f (X1,X2) =1:

x1x2 ∨ x1x2.

<0,1> <1,0>

Поставимо знаки інверсії над тими змінними, під якими записано 0, отримаємо шукану

ДДНФ:

ДДНФ f (X1,X2)= x x ∨ x x

1

2

1

2

Довершена кон’юнктивна нормальна форма перемикальної функції вводиться на підставі

поняття констітуенти нуля. Перемикальну функцію від n змінних , що дорівнює 0 лише на одному

двійковому наборі довжини n, називають конституентою нуля цього набору.

Кон’юнкція конституент нуля усіх тих та лише тих наборів, у яких перемикальна функція f

(x1, x2,, …, xn) дорівнює 0, називається довершеною кон’юнктивною нормальною формою цієї

функції (ДКНФ).

Нехай функція f (x1, x2,, …, xn) дорівнює 0 на m двійкових наборах. Існує правило побудови

ДКНФ цієї функції:

1) виписують m диз’юнкцій усіх змінних, ставлячи між ними знак кон’юнкції;

2) записують під кожною диз’юнкцією двійковий набір, на якому функція f (x1, x2,, …,

xn) = 0;

3) ставлять знаки інверсії над тими змінними, під якими записано 1.

Приклад: Подати в ДКНФ перемикальну функцію f (X1,X2), яка задана таблиці 3.1.1.

З таблиці 3.1.1 видно, що задана функція дорівнює 0 на двох наборах. Виписуємо дві

кон’юнкції двох змінних та ставимо між ними знак кон’юнкції:

( x1 ∨ x2) • (x1 ∨ x2).

Під кожною кон’юнкцією записуємо набір, на якому функція f (X1,X2) =0:

x1x2 ∨ x1x2.

<0,0 > <1,1>

Поставимо знаки інверсії над тими змінними, під якими записано 1, отримаємо шукану

ДКНФ:

f (X1,X2)= ( x ∨ x ) • ( x ∨ x )

1

2

1

2

Оператором логічного елемента називають функцію, що реалізує цей елемент. Якщо число

входів у елементів достатньо, то одержання операторного запису функції зводиться до її

представлення в одній з нормальних форм.

У базисі елементів І, АБО, НЕ, І-НЕ, АБО-НЕ таких форм вісім.

На прикладі функції F( X, Y, Z) = X⋅ Y∨ X⋅ Y∨ Y⋅ Z і її заперечення F X

( Y

, , Z) = X Y

⋅ ∨ X Y

⋅ ⋅ Z покажемо

одержання всіх нормальних форм.

Позначати нормальні форми будемо з використанням внутрішньої і зовнішньої функцій.

Наприклад, у диз'юнктивної нормальної форми (ДНФ) внутрішньою є функція І, а зовнішньою –

АБО, тобто ДНФ – форма типу І/АБО.

Взявши подвійне заперечення заданої функції і застосувавши кілька разів правило де

13

Моргана, послідовно одержимо такі нормальні форми:

F( X, Y, Z) = X ⋅ Y ∨ X⋅ Y ∨ Y ⋅ Z =

(форма І/АБО);

= X ⋅ Y ∨ X ⋅ Y ∨ Y ⋅ Z =

= X ⋅ Y ⋅ X ⋅ Y ⋅ Y ⋅ Z =

(форма І-НЕ/І-НЕ);

=( X∨ )

Y ⋅( X∨ )

Y ⋅( Y∨ )

Z =

(форма АБО/І-НЕ);

=( X∨ )

Y

(

∨ X∨ )

Y (

∨ Y Z

∨ .)

(форма АБО-НЕ/АБО).

Виходячи з заперечення заданої функції, запишемо ще чотири нормальні форми:

F( X, Y, Z) = X ⋅ Y ∨ X ⋅ Y ⋅ Z =

(форма І/АБО-НЕ);

= X ⋅ Y ⋅ X ⋅ Y ⋅ Z =

(форма І-НЕ/І);

=( X ∨ Y)⋅( X ∨ Y ∨ Z) =

(форма АБО/І);

=( X ∨ Y)⋅( X ∨ Y ∨ Z) =

(форма АБО-НЕ/АБО-

=( X ∨ Y)∨( X ∨ Y ∨ )

Z =

НЕ).

Нормальні форми дозволяють одержати комбінаційну схему з двома рівнями (каскадами)

логічних елементів, якщо елементи мають необхідне число входів, а аргументи представлені

прямими та інверсними значеннями.

На третьому етапі за операторними представленнями функцій складають комбінаційну

схему. Задана система елементів може дозволити реалізувати кілька операторних представлень

функції. Наприклад, при наявності елементів І, АБО та І-НЕ можна використовувати як вихідну

одну з п'яти нормальних форм (І/АБО, І-НЕ/І-НЕ, АБО/І-НЕ, І-НЕ/І, АБО/І) для одержання

відповідних операторних представлень з урахуванням числа входів елементів. Для того щоб

вибрати одну схему з декількох можливих, необхідно порівнювати їх за заданими параметрами

(найбільш часто – за складністю і швидкодєю).

Існує кілька способів оцінки складності схем. Часто використовують оцінку за Квайном

(С), яка визначається як сумарне число входів усіх логічних елементів.

Параметр С може використовуватись при проектуванні інтегральних схем (як порівняна

оцінка складності варіантів проектування), оскільки складність схем залежить від площі

кристала, яка пропорційна числу логічних елементів і числу їх входів.

З декількох можливих вибирають комбінаційну схему, що краще інших задовольняє

заданим параметрам. Наприклад, при наявності елементів 2І-НЕ та 2АБО-НЕ розглянуту

функцію можна представити в операторних формах І-НЕ/І-НЕ та АБО-НЕ/АБО-НЕ таким

чином:

F( X, Y, Z) = X ⋅ Y ⋅ X ⋅ Y ⋅ Y ⋅ Z = X ⋅ Y ⋅ X ⋅ Y ⋅ Y ⋅ Z; F( X, Y, Z) = ( X ∨ Y )∨( X ∨ Y ∨ Z) = ( X ∨ Y )∨( X ∨ Y ∨ Z .

)

Отриманим формам відповідають схеми на рис. 2.1.

14

X

&

Y

&

&

X

&

Y

&

F

Y

&

Z

а)

X

1

Y

1

F

X

1

1

1

Y

Z

б)

Рисунок 3.1.1 Комбінаційні схеми: а-операторна форма І-

НЕ/І-НЕ;

б-операторна форма АБО-НЕ/АБО-НЕ.